Какова вероятность того, что сотрудник получил: а) два вознаграждения? б) ровно одно вознаграждение? в

Печка

34

Давайте решим эту задачу по очереди. Предположим, что у сотрудника есть три вознаграждения, и мы хотим определить вероятность получения определенного количества вознаграждений.

а) Вероятность получить два вознаграждения:
Для этого нам нужно выбрать 2 вознаграждения из 3 возможных. Вероятность получить каждое вознаграждение составляет 1/3. Используем формулу биномиального коэффициента:

\[
P(\text{{2 вознаграждения}}) = \binom{3}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(1 - \frac{1}{3}\right)^{3-2}
\]

где \(\binom{3}{2}\) - биномиальный коэффициент (число сочетаний), равный 3, а \(1/3\) - вероятность одного вознаграждения.

Выполняя вычисления, получаем:

\[
P(\text{{2 вознаграждения}}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}
\]

Таким образом, вероятность получить два вознаграждения составляет \(\frac{2}{9}\).

б) Вероятность получить ровно одно вознаграждение:
Аналогично предыдущему пункту, мы должны выбрать 1 вознаграждение из 3 возможных. Вероятность получить каждое вознаграждение также составляет 1/3. Используем формулу биномиального коэффициента:

\[
P(\text{{ровно 1 вознаграждение}}) = \binom{3}{1} \times \left(\frac{1}{3}\right)^1 \times \left(1 - \frac{1}{3}\right)^{3-1}
\]

вычисляем:

\[
P(\text{{ровно 1 вознаграждение}}) = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}
\]

Таким образом, вероятность получить ровно одно вознаграждение составляет \(\frac{2}{3}\).

в) Вероятность получить все три вознаграждения:
Мы рассматриваем случай, когда сотрудник получает все три вознаграждения. Вероятность получить каждое из них составляет 1/3. Используем формулу произведения вероятностей:

\[
P(\text{{все 3 вознаграждения}}) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}
\]

Таким образом, вероятность получить все три вознаграждения составляет \(\frac{1}{27}\).

Итак, мы рассмотрели вероятности получения различных количеств вознаграждений и получили следующие результаты:

а) Вероятность получить два вознаграждения: \(\frac{2}{9}\)
б) Вероятность получить ровно одно вознаграждение: \(\frac{2}{3}\)
в) Вероятность получить все три вознаграждения: \(\frac{1}{27}\)