Какова вероятность того, что среди 5 случайно отобранных человек из группы будут ровно 2 девочки?

Пламенный_Капитан

62

Чтобы решить данную задачу, нужно воспользоваться комбинаторикой и формулой для вычисления вероятности. Давайте разобьем ее на несколько шагов:

Шаг 1: Определение исходов
Исходы - это всевозможные комбинации из 5 отобранных людей. При этом каждый отобранный человек может быть девочкой или мальчиком. Так как нам нужно выбрать ровно 2 девочки, остальные 3 отобранных людей должны быть мальчиками. Поэтому количество исходов, где будут 2 девочки из 5 отобранных людей, можно выразить следующим образом:


\[
\binom{2}{2} \cdot \binom{3}{3}
\]

где символ \(\binom{n}{k}\) обозначает число комбинаций из \(n\) элементов по \(k\) элементов.

Шаг 2: Подсчет количества исходов
Теперь, чтобы посчитать количество исходов, мы применим формулу комбинаторики. Выполним вычисления:

\[
\binom{2}{2} = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 1
\]

\[
\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 1
\]

Таким образом, количество исходов, когда среди 5 случайно отобранных людей будет ровно 2 девочки, равно 1.

Шаг 3: Вычисление вероятности
Теперь, когда мы знаем количество исходов, нам нужно вычислить вероятность. Общее количество исходов при выборе 5 людей из группы равно \(\binom{5}{5}\). Мы можем выразить это следующим образом:

\[
\binom{5}{5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = 1
\]

Вероятность того, что среди 5 случайно отобранных человек из группы будут ровно 2 девочки, равна:

\[
P = \frac{\text{Количество исходов с 2 девочками}}{\text{Количество всех возможных исходов}} = \frac{1}{1} = 1
\]

Таким образом, вероятность равна 1 или 100%.

Данный результат означает, что в группе есть толькo две девочки, и каждая из них обязательно будет отобрана при случайной выборке 5 человек.