Какова вероятность того, что только один из продавцов будет занят обслуживанием клиента, а другой будет свободен

Yuriy

60

Давайте посмотрим на эту задачу более подробно. У нас есть два продавца, обозначим их как продавец 1 и продавец 2.

Поскольку весь процесс обслуживания клиента случаен, нам понадобится информация о временах обслуживания клиентов каждым продавцом. Пусть время обслуживания клиента продавцом 1 будет обозначено как \(T_1\), а время обслуживания клиента продавцом 2 как \(T_2\).

Предположим, что эти времена обслуживания клиентов являются независимыми и экспоненциально распределенными случайными величинами с параметрами \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) соответственно. Параметр \(\lambda\) представляет собой интенсивность обслуживания, то есть среднее количество клиентов, которое продавец может обслуживать за единицу времени.

Теперь перейдем к решению задачи. Вероятность того, что только один из продавцов будет занят обслуживанием клиента в случайный момент времени, можно представить как сумму вероятностей того, что только продавец 1 будет занят, и вероятности того, что только продавец 2 будет занят.

Для продавца 1 вероятность быть занятым равна вероятности того, что время обслуживания клиента продавцом 1 (\(T_1\)) больше времени обслуживания клиента продавцом 2 (\(T_2\)). Это может быть выражено следующей формулой:

\[P(T_1 > T_2) = \frac{{\lambda_1}}{{\lambda_1 + \lambda_2}}\]

Аналогично, для продавца 2 вероятность быть занятым равна вероятности того, что \(T_2 > T_1\), то есть:

\[P(T_2 > T_1) = \frac{{\lambda_2}}{{\lambda_1 + \lambda_2}}\]

Тогда искомая вероятность будет суммой этих двух вероятностей:

\[P(\text{{только один из продавцов будет занят}}) = P(T_1 > T_2) + P(T_2 > T_1) = \frac{{\lambda_1}}{{\lambda_1 + \lambda_2}} + \frac{{\lambda_2}}{{\lambda_1 + \lambda_2}} = \frac{{\lambda_1 + \lambda_2}}{{\lambda_1 + \lambda_2}} = 1\]

Таким образом, вероятность того, что только один из продавцов будет занят обслуживанием клиента в случайный момент времени, всегда равна 1.

Это объясняется тем, что по условию каждый продавец работает независимо от другого, и, таким образом, всегда есть хотя бы один свободный продавец, готовый обслужить клиента.