Какова вероятность того, что только один из трех игроков получит право на повторный ход во время настольной игры

Пижон

22

Для решения этой задачи нам необходимо рассмотреть все возможные комбинации бросков кубика и определить вероятность того, что только один из трех игроков получит право на повторный ход.

Итак, у нас есть три игрока, которые бросают кубик по очереди. Есть два варианта исхода: игрок выбросит 5 или 6 очков (удачный бросок) или игрок выбросит от 1 до 4 очков (неудачный бросок). Последовательность удачных и неудачных бросков может быть различной, поэтому нам понадобится применить комбинаторику.

Начнем с рассмотрения ситуации, когда первый игрок выбрасывает удачный бросок (5 или 6 очков). В этом случае у оставшихся двух игроков остается возможность выбить право на повторный ход.

Вероятность того, что у первого игрока будет удачный бросок, составляет \(P(\text{удачный бросок}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Вероятность того, что у оставшихся двух игроков будет неудачный бросок, составляет \(P(\text{неудачный бросок}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Таким образом, вероятность того, что только первый игрок получит право на повторный ход, равна произведению этих вероятностей: \(P(\text{только первый игрок}) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда только второй игрок получает право на повторный ход. В этом случае первый игрок должен выбросить неудачный бросок, а второй игрок - удачный бросок.

Вероятность неудачного броска у первого игрока остается той же, \(P(\text{неудачный бросок}) = \frac{2}{3}\), а вероятность удачного броска у второго игрока равна \(P(\text{удачный бросок}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Таким образом, вероятность того, что только второй игрок получит право на повторный ход, равна произведению этих вероятностей: \(P(\text{только второй игрок}) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}\).

Наконец, рассмотрим ситуацию, когда только третий игрок получает право на повторный ход. В этом случае первый игрок должен выбросить неудачный бросок, второй игрок - также неудачный бросок, а третий игрок - удачный бросок.

Вероятности неудачных бросков у первого и второго игроков остаются теми же, \(P(\text{неудачный бросок}) = \frac{2}{3}\), а вероятность удачного броска у третьего игрока равна \(P(\text{удачный бросок}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Таким образом, вероятность того, что только третий игрок получит право на повторный ход, равна произведению этих вероятностей: \(P(\text{только третий игрок}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}\).

Наконец, чтобы получить общую вероятность, мы складываем вероятности всех трех случаев:

\[P(\text{только один из трех игроков}) = P(\text{только первый игрок}) + P(\text{только второй игрок}) + P(\text{только третий игрок})\]
\[P(\text{только один из трех игроков}) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} = \frac{14}{27}\]

Таким образом, вероятность того, что только один из трех игроков получит право на повторный ход, составляет \(\frac{14}{27}\) или примерно 0.519 (округлено до трех десятичных знаков).