Как записать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a, если: а) функция равна 2x-5/5-x

Taras

63

Хорошо! Давайте решим каждую задачу по очереди и выведем уравнения касательных к заданным функциям.

а) У нас есть функция \(y = f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}\) и точка с абсциссой \(x = a = 4\). Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в этой точке, мы должны найти производную функции \(f(x)\) и подставить \(x = 4\).

Вычислим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{2x - 5}{5 - x}\right)
\]
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования частного функций:
\[
f"(x) = \frac{(5 - x)(2) - (2x - 5)(-1)}{(5 - x)^2}
\]
Упростим выражение:
\[
f"(x) = \frac{10 - 2x - 10 + x}{(5 - x)^2} = \frac{-x}{(5 - x)^2}
\]
Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x = 4\):
\[
f"(4) = \frac{-4}{(5 - 4)^2} = -4
\]

Итак, производная функции в точке \(x = 4\) равна \(-4\). Чтобы найти уравнение касательной, мы используем формулу:
\[
y - f(a) = f"(a)(x - a)
\]
где \(f(a)\) - значение функции в точке \(x = a\), а \(f"(a)\) - значение производной функции в точке \(x = a\).

Подставим значения:
\[
y - f(4) = f"(4)(x - 4)
\]
Найдем значение \(f(4)\):
\[
f(4) = \frac{2 \cdot 4 - 5}{5 - 4} = \frac{8 - 5}{1} = 3
\]
Теперь мы можем переписать уравнение:
\[
y - 3 = -4(x - 4)
\]
и упростить его:
\[
y - 3 = -4x + 16
\]
\[
y = -4x + 19
\]

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке \(x = 4\) равно \(y = -4x + 19\).

б) У нас есть функция \(y = f(x) = \frac{1}{4}(2x - 1)^2\) и точка с абсциссой \(x = a = 1\). Проделаем такие же шаги, как в предыдущей задаче, чтобы найти уравнение касательной.

Вычислим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{4}(2x - 1)^2\right)
\]
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования квадрата функции:
\[
f"(x) = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 2(2x - 1) = \frac{2(2x - 1)}{4} = \frac{2x - 1}{2} = x - \frac{1}{2}
\]
Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x = 1\):
\[
f"(1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Итак, производная функции в точке \(x = 1\) равна \(\frac{1}{2}\). Чтобы найти уравнение касательной, мы используем формулу:
\[
y - f(a) = f"(a)(x - a)
\]

Подставим значения:
\[
y - f(1) = f"(1)(x - 1)
\]
Найдем значение \(f(1)\):
\[
f(1) = \frac{1}{4}(2 \cdot 1 - 1)^2 = \frac{1}{4}(1)^2 = \frac{1}{4}
\]
Теперь мы можем переписать уравнение:
\[
y - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(x - 1)
\]

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке \(x = 1\) равно \(y - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}(x - 1)\).

в) У нас есть функция \(y = f(x) = \sqrt{7 - 2x}\) и точка с абсциссой \(x = a = 3\). Проделаем такие же шаги, как в предыдущих задачах, чтобы найти уравнение касательной.

Вычислим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\sqrt{7 - 2x}\right)
\]
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования корня:
\[
f"(x) = -\frac{2}{2\sqrt{7 - 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{7 - 2x}}
\]
Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x = 3\):
\[
f"(3) = -\frac{1}{\sqrt{7 - 2 \cdot 3}} = -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1
\]

Итак, производная функции в точке \(x = 3\) равна \(-1\). Чтобы найти уравнение касательной, мы используем формулу:
\[
y - f(a) = f"(a)(x - a)
\]

Подставим значения:
\[
y - f(3) = f"(3)(x - 3)
\]
Найдем значение \(f(3)\):
\[
f(3) = \sqrt{7 - 2 \cdot 3} = \sqrt{7 - 6} = \sqrt{1} = 1
\]
Теперь мы можем переписать уравнение:
\[
y - 1 = -1(x - 3)
\]
и упростить его:
\[
y - 1 = -x + 3
\]
\[
y = -x + 4
\]

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке \(x = 3\) равно \(y = -x + 4\).

г) У нас есть функция \(y = f(x) = \cot(2x)\) и точка с абсциссой \(x = a = \frac{\pi}{4}\). Проделаем такие же шаги, как в предыдущих задачах, чтобы найти уравнение касательной.

Вычислим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{d}{dx} \left(\cot(2x)\right)
\]
Для этого мы можем использовать правило дифференцирования котангенса:
\[
f"(x) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot \frac{d}{dx} (\sin(2x))
\]
\[
f"(x) = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot 2\cos(2x) = -\frac{2\cos(2x)}{\sin^2(2x)}
\]
Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x = \frac{\pi}{4}\):
\[
f"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)}{\sin^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)} = -\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)} = -\frac{2 \cdot 0}{1} = 0
\]

Итак, производная функции в точке \(x = \frac{\pi}{4}\) равна \(0\). Следовательно, уравнение касательной будет простым горизонтальным прямым, проходящим через точку.

Итак, уравнение касательной к графику функции в точке \(x = \frac{\pi}{4}\) будет \(y = f\left(\frac{\pi}{4}\right)\), то есть \(y = \cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\). Поскольку значение котангенса в точке \(\frac{\pi}{4}\) равно \(1\), то уравнение касательной будет \(y = 1\).

Вот и все! Мы нашли уравнения касательных к графикам указанных функций в заданных точках.