Какова вероятность того, что в одной из пяти ячеек будет размещено более одного жетона, если три одинаковых жетона

Snezhinka_9407

39

Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала определить общее количество возможных способов распределения трех жетонов по пяти ячейкам. Затем мы должны посчитать количество способов распределения, при которых одна из ячеек содержит более одного жетона.

1. Расчет общего числа способов распределения трех жетонов по пяти ячейкам:

Мы можем представить это как комбинацию с повторением, где у нас есть 3 жетона и 5 ячеек. Общее число способов распределения можно найти, используя формулу комбинаторики:

\[
C(n+k-1, k) = C(3+5-1, 5) = C(7, 5) = \frac{7!}{5! \cdot 2!} = 21
\]

Таким образом, общее число способов распределения трех жетонов по пяти ячейкам равно 21.

2. Расчет числа способов распределения, при которых одна из ячеек содержит более одного жетона:

Для расчета этого числа мы рассмотрим все возможные случаи, когда одна из ячеек содержит 2 или 3 жетона.

а) Одна ячейка содержит 2 жетона при условии, что остальные ячейки пусты:

У нас есть 5 ячеек, из которых мы должны выбрать одну для размещения двух жетонов. Это можно сделать \(\binom{5}{1} = 5\) способами. Таким образом, есть 5 случаев, когда одна из ячеек содержит 2 жетона.

б) Одна ячейка содержит 3 жетона при условии, что остальные ячейки пусты:

У нас есть 5 ячеек, из которых мы должны выбрать одну для размещения трех жетонов. Это можно сделать \(\binom{5}{1} = 5\) способами. Таким образом, есть 5 случаев, когда одна из ячеек содержит 3 жетона.

3. Окончательный расчет вероятности:

Чтобы найти вероятность того, что в одной из пяти ячеек будет размещено более одного жетона, мы должны разделить число способов распределения, при которых одна из ячеек содержит более одного жетона, на общее число способов распределения.

Вероятность равна:

\[
\frac{\text{число способов распределения, при которых одна из ячеек содержит более одного жетона}}{\text{общее число способов распределения}}
\]

В нашем случае, число способов распределения, при которых одна из ячеек содержит более одного жетона, равно 10 (5 случаев с 2 жетонами и 5 случаев с 3 жетонами).

Таким образом, вероятность того, что в одной из пяти ячеек будет размещено более одного жетона, составляет:

\[
\frac{10}{21}
\]

Ответ: Вероятность того, что в одной из пяти ячеек будет размещено более одного жетона, равна \(\frac{10}{21}\).