Какова вероятность того, что все три новых лампы останутся исправными? Какова вероятность того, что хотя бы одна

Японка

64

Для начала рассмотрим вероятность того, что все три новых лампы останутся исправными. Предположим, что вероятность того, что одна из ламп будет исправной, равна \( p \). Тогда вероятность того, что все три лампы будут исправными, можно вычислить как произведение вероятностей:

\[ P(\text{все три исправны}) = p \times p \times p = p^3 \]

Теперь рассмотрим вероятность того, что хотя бы одна из новых ламп не будет исправной. Обозначим эту вероятность как \( P(\text{хотя бы одна неисправна}) \). Для нахождения данной вероятности можно воспользоваться принципом дополнения. Вероятность того, что все три лампы будут исправными, равна дополнению к вероятности того, что хотя бы одна из них неисправна:

\[ P(\text{хотя бы одна неисправна}) = 1 - P(\text{все три исправны}) = 1 - p^3 \]

Теперь перейдем к построению ряда распределения вероятностей для числа исправных ламп среди трех новых ламп. Для этого рассмотрим все возможные варианты:

- Если все три лампы исправны, то вероятность такого события равна \( P(\text{все три исправны}) = p^3 \).
- Если только две лампы исправны, то вероятность такого события можно вычислить как сумму вероятностей, при которых на первом месте неисправная лампа, на втором месте исправная, и на третьем месте исправная лампа. Таких вариантов будет 3 (так как неисправная лампа может быть на первом, втором или третьем месте). Вероятность каждого такого варианта будет равна \( p \times (1-p) \times p = p^2 \cdot (1-p) \). Суммируя вероятности для всех трех вариантов, получим общую вероятность данного события: \( 3 \cdot p^2 \cdot (1-p) \).
- Если только одна лампа исправна, то вероятность такого события можно вычислить таким же образом, получив вероятность равную \( 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 \).
- Если ни одна лампа неисправна, то вероятность такого события будет равна \( (1-p)^3 \).

Таким образом, ряд распределения вероятностей для числа исправных ламп среди трех новых ламп будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{{matrix}}
\text{{Число исправных ламп}} & \text{{Вероятность}} \\
0 & (1-p)^3 \\
1 & 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 \\
2 & 3 \cdot p^2 \cdot (1-p) \\
3 & p^3 \\
\end{{matrix}}
\]

Далее, построим функцию распределения для этой случайной величины. Функция распределения определяется как сумма вероятностей всех значений случайной величины вплоть до заданного значения. В данном случае, функция распределения будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{{matrix}}
\text{{Число исправных ламп}} & \text{{Функция распределения}} \\
0 & (1-p)^3 \\
1 & (1-p)^3 + 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 \\
2 & (1-p)^3 + 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 + 3 \cdot p^2 \cdot (1-p) \\
3 & (1-p)^3 + 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 + 3 \cdot p^2 \cdot (1-p) + p^3 \\
\end{{matrix}}
\]

Наконец, найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Математическое ожидание определяется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности. Дисперсия определяется как среднее квадратов отклонений значений случайной величины от её математического ожидания.

Математическое ожидание для данного случая можно вычислить следующим образом:

\[ M(X) = 0 \cdot (1-p)^3 + 1 \cdot 3 \cdot p \cdot (1-p)^2 + 2 \cdot 3 \cdot p^2 \cdot (1-p) + 3 \cdot p^3 \]

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

\[ M(X) = 3p - 6p^2 + 3p^3 + 6p^2 - 6p^3 + 3p^3 = 3p \]

Дисперсию можно вычислить следующим образом:

\[ D(X) = (0-3p)^2 \cdot (1-p)^3 + (1-3p)^2 \cdot 3p \cdot (1-p)^2 + (2-3p)^2 \cdot 3p^2 \cdot (1-p) + (3-3p)^2 \cdot p^3 \]

Упрощая выражение, получаем:

\[ D(X) = 9p^2 (1-p)^3 + 9p^2 (1-p)^2 + 9p^2 (1-p) + 9p^2 \cdot p^3 \]

В итоге математическое ожидание равно \( 3p \), а дисперсия равна \( 9p^2 (2-p) \).

Это подробное решение задачи о вероятности исправности трех новых ламп. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь и спросите.