Какова вероятность того, что выбранная случайным образом точка X находится внутри трапеции AMCD, если точка M делит

Смешарик

41

Добро пожаловать! Чтобы посчитать вероятность того, что выбранная случайным образом точка X находится внутри трапеции AMCD, воспользуемся геометрическим подходом.

Дано, что точка M делит отрезок BC пополам. Предположим, что BC - основание трапеции, AB и CD - боковые стороны, а H - высота трапеции. Обозначим точку X как (x, y) и точку M как (m, 0). Точка X может находиться где угодно внутри трапеции AMCD. Наша задача - найти вероятность, с которой X будет внутри трапеции.

Чтобы определить это, мы должны рассмотреть диапазон значений, в которых точка X может находиться внутри трапеции. Поскольку точка M делит отрезок BC пополам, координаты точки M будут (m, 0), где m - это середина отрезка BC. В контексте этой задачи, точка M будет находиться на внутренней биссектрисе трапеции AMCD.

Теперь давайте посмотрим на расположение точки X внутри трапеции. Мы знаем, что координаты точки X - (x, y). Поскольку точка M делит отрезок BC пополам, координата X должна находиться между точками B и C вдоль оси x. Заметьте, что это означает, что x должно быть больше, чем координата точки B и меньше, чем координата точки C.

Также обратите внимание, что точка X должна находиться выше оси x. То есть, координата y должна быть больше нуля.

Теперь, когда мы установили ограничения для координат точки X, мы можем определить вероятность того, что она находится внутри трапеции AMCD. Она будет равна отношению площади трапеции AMCD к общей площади пространства, где точка X может находиться.

Для нахождения площади трапеции AMCD нам понадобятся длины оснований трапеции, которые мы обозначим как a (длина основания AB) и b (длина основания CD), а также высота H. Пусть a = AB, b = CD и H = высота трапеции. Тогда площадь трапеции равна:

\[S_{AMCD} = \frac{{(a + b) \cdot H}}{2}\]

Теперь, чтобы найти общую площадь пространства, в котором может находиться точка X, нам нужно учесть ограничения по оси x и оси y.

Ограничение по оси x: точка X должна находиться между координатами точек B и C. Тогда общая длина по оси x будет равна (С - B), где С и B - координаты концов оснований трапеции.

Ограничение по оси y: точка X должна находиться выше оси x. Тогда общая длина по оси y будет равна H, высоте трапеции.

Теперь мы можем найти общую площадь пространства:

\[S_{total} = (C - B) \cdot H\]

Таким образом, вероятность того, что выбранная случайным образом точка X находится внутри трапеции AMCD, будет равна:

\[P(X \text{ внутри AMCD}) = \frac{S_{AMCD}}{S_{total}} = \frac{\frac{{(a + b) \cdot H}}{2}}{(C - B) \cdot H}\]

Исходя из того, что координаты точки M- (m, 0), мы можем найти значения a и b, используя соотношение M делит BC пополам:

\[a = m - B\]
\[b = C - m\]

Теперь мы можем заменить значения a и b в выражении для вероятности:

\[P(X \text{ внутри AMCD}) = \frac{\frac{{(m - B + C - m) \cdot H}}{2}}{(C - B) \cdot H}\]

Упрощая выражение, получим:

\[P(X \text{ внутри AMCD}) = \frac{H}{2H} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, вероятность того, что выбранная случайным образом точка X находится внутри трапеции AMCD, равна \(\frac{1}{2}\).