Какова вероятность выбрать 11 студентов наугад из группы из 14 студентов, в которой 9 отличников, и среди выбранных

Yagoda

29

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вычислить вероятность выбрать 5 отличников из общего числа выбранных студентов.

Первым шагом определим общее количество способов выбора 11 студентов из группы из 14 студентов. Это можно сделать с помощью комбинаторики. Формула для этого выглядит так:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где n - общее количество элементов (студентов), k - количество элементов (студентов), которые мы хотим выбрать, а ! - символ факториала.

Таким образом, в данном случае мы ищем количество комбинаций выбора 11 студентов из 14:

\[
C(14, 11) = \frac{{14!}}{{11!(14-11)!}} = \frac{{14!}}{{11!3!}}
\]

Вычислим факториалы:

\[
14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!
\]

\[
11! = 11 \times 10 \times 9!
\]

\[
3! = 3 \times 2 \times 1
\]

Подставим эти значения в формулу:

\[
C(14, 11) = \frac{{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}}{{11 \times 10 \times 9! \times 3 \times 2 \times 1}}
\]

Заметим, что множители \(11 \times 10 \times 9!\) сокращаются:

\[
C(14, 11) = \frac{{14 \times 13 \times 12}}{{3 \times 2 \times 1}}
\]

Теперь рассмотрим количество комбинаций выбора 5 отличников из 9 отличников. Это можно сделать с помощью аналогичной формулы комбинаторики:

\[
C(9, 5) = \frac{{9!}}{{5!(9-5)!}} = \frac{{9!}}{{5!4!}}
\]

Вычислим факториалы:

\[
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!
\]

\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\]

Подставим значения в формулу:

\[
C(9, 5) = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}}{{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}
\]

Заметим, что множители \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) сокращаются:

\[
C(9, 5) = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}
\]

Теперь мы можем вычислить итоговую вероятность, разделив количество комбинаций выбора 5 отличников из 9 отличников на общее количество комбинаций выбора 11 студентов из 14:

\[
P = \frac{{C(9, 5)}}{{C(14, 11)}} = \frac{{\frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}}}{{\frac{{14 \times 13 \times 12}}{{3 \times 2 \times 1}}}}
\]

Сокращаем множители:

\[
P = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 3!}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 14 \times 13 \times 12}}
\]

\[
P = \frac{{9 \times 8 \times 7 \times 6}}{{14 \times 13 \times 12}}
\]

Теперь вычисляем данное выражение:

\[
P = \frac{{3024}}{{2184}} = \frac{{28}}{{13}} \approx 0.538
\]

Таким образом, вероятность выбрать 11 студентов наугад из группы из 14 студентов, в которой 9 отличников, и среди выбранных будет 5 отличников, составляет примерно 0.538 или 53.8%.