Какова вероятность выбрать три разных цвета из мешка, содержащего шесть шариков трех цветов, по два шарика каждого

Yaponka

30

Данная задача связана с комбинаторикой и вычислением вероятностей. Для решения задачи нам необходимо знать общее количество возможных комбинаций, а также сколько из них удовлетворяют условию выбора трех разных цветов.

В мешке содержится шесть шариков трех разных цветов по два шарика каждого цвета. Обозначим каждый цвет шарика буквами A, B и C. Всего в мешке у нас 2 шарика каждого цвета, то есть 2 шарика A, 2 шарика B и 2 шарика C.

Сначала вычислим общее количество возможных комбинаций, которые можно составить, взяв по три шарика из мешка. Для этого воспользуемся формулой сочетаний без повторений:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где n - общее количество объектов (шариков в нашем случае), k - количество объектов, которые мы выбираем.

В нашей задаче мы берем по три шарика, поэтому k = 3, а n = 6, так как всего у нас шесть шариков в мешке. Подставив значения в формулу, получаем:

\[C_6^3 = \frac{{6!}}{{3! \cdot (6-3)!}} = \frac{{6!}}{{3! \cdot 3!}} = \frac{{6 \cdot 5 \cdot 4}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 20\]

Теперь нам нужно посчитать количество комбинаций, в которых мы выбираем по три разных цвета. Мы можем выбрать один шарик из трех возможных для каждого цвета, поэтому количество таких комбинаций можно рассчитать умножив количество возможных выборов для каждого цвета.

Так как у нас есть три цвета, то каждый цвет мы можем выбрать 1 раз из 3, взяв 1 шарик из 2 доступных. Таким образом, количество комбинаций равно:

\[1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\]

Теперь, чтобы найти вероятность выбрать три разных цвета из мешка, мы делим количество комбинаций, удовлетворяющих условию, на общее количество возможных комбинаций:

\[P(\text{{три разных цвета}}) = \frac{{1}}{{20}}\]

Таким образом, вероятность выбрать три разных цвета из мешка, содержащего шесть шариков трех цветов, по два шарика каждого цвета, составляет \(\frac{{1}}{{20}}\) или 0.05.