Какова вероятность вытянуть выигрышный билет из 12 лотерейных билетов, если перед этим наугад были вытащены 2 билета?

Ячмень

66

Хорошо, давайте решим эту задачу, использовав теорию вероятности и формулу полной вероятности.

Для начала определим вероятность выигрышного билета.
Пусть событие A обозначает вытащить выигрышный билет.

Вероятность выигрышного билета равна отношению количества выигрышных билетов к общему количеству билетов.
В данном случае у нас 12 лотерейных билетов, и предположим, что только один из них выигрышный.
Таким образом, вероятность A равна \(\frac{1}{12}\).

Теперь рассмотрим событие B, которое обозначает вытащить 2 билета наугад.

Задачу можно решить, используя формулу полной вероятности, которая позволяет нам получить вероятность события B, учитывая различные возможности.

Согласно формуле полной вероятности, вероятность события B может быть выражена следующим образом:

\[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]

Где:
P(B) - вероятность события B (вытащить 2 билета наугад)
P(A) - вероятность события A (вытащить выигрышный билет)
P(\(\overline{A}\)) - вероятность события "не A" (вытащить невыигрышный билет)
P(B|A) - вероятность события B при условии, что произошло событие A (вытащить 2 билета наугад, если первый выигрышный)
P(B|\(\overline{A}\)) - вероятность события B при условии, что произошло событие "не A" (вытащить 2 билета наугад, если первый невыигрышный)

Так как вероятность выигрышного билета равна \(\frac{1}{12}\), то P(A) = \(\frac{1}{12}\).
Вероятность события "не A" получается следующим образом: P(\(\overline{A}\)) = 1 - P(A) = 1 - \(\frac{1}{12}\) = \(\frac{11}{12}\).

Теперь нужно определить вероятности P(B|A) и P(B|\(\overline{A}\)).
Вероятность P(B|A) состоит в том, что если первый вытащенный билет является выигрышным, то второй билет должен быть вытащен из оставшихся 11 билетов (не включая первый выигрышный билет).

Таким образом, P(B|A) = \(\frac{1}{11}\).

Вероятность P(B|\(\overline{A}\)) состоит в том, что если первый вытащенный билет является невыигрышным, то второй билет должен быть вытащен из оставшихся 11 билетов (не включая первый невыигрышный билет).

Таким образом, P(B|\(\overline{A}\)) также равна \(\frac{1}{11}\).

Теперь подставим все значения в формулу полной вероятности:

\[P(B) = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{12} + \frac{1}{11} \cdot \frac{11}{12}\]

\[P(B) = \frac{1}{11 \cdot 12} + \frac{11}{11 \cdot 12}\]

\[P(B) = \frac{1}{132} + \frac{11}{132}\]

\[P(B) = \frac{12}{132}\]

Упрощая дробь, получаем:

\[P(B) = \frac{1}{11}\]

Таким образом, вероятность вытащить выигрышный билет из 12 лотерейных билетов, если перед этим наугад были вытащены 2 билета, равна \(\frac{1}{11}\).