В ящике есть 20 стандартных деталей и 7 бракованных. Извлекли три детали. Событие А1 – первая извлеченная деталь

  • 68
В ящике есть 20 стандартных деталей и 7 бракованных. Извлекли три детали. Событие А1 – первая извлеченная деталь является бракованной, А2 – вторая извлеченная деталь является бракованной, А3 – третья извлеченная деталь является бракованной. Запишите событие: В – все извлеченные детали являются бракованными.
Alla
55
Хорошо, предлагаю следующее решение:

Нам нужно записать событие "В" - что все извлеченные детали являются бракованными. Обозначим данное событие как \(\text{В}\).

Поскольку задача явно указывает на вероятность извлечения первой, второй и третьей детали в указанном порядке, мы можем использовать формулу условной вероятности, чтобы решить эту задачу.

Формула условной вероятности имеет вид:
\[P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_3 | A_1 \cap A_2) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_1)\]

Давайте выразим каждое условие по отдельности:

\(P(A_1)\) - вероятность извлечения первой бракованной детали. У нас есть общее количество деталей, а наличие бракованных деталей уже указано в задаче. Итак, вероятность извлечения первой бракованной детали равна:
\[P(A_1) = \frac{\text{количество бракованных деталей}}{\text{общее количество деталей}} = \frac{7}{27}\]

\(P(A_2|A_1)\) - вероятность извлечения второй бракованной детали при условии, что первая деталь была бракованной. Поскольку первая бракованная деталь была уже извлечена, общее количество деталей уменьшается на 1, а количество бракованных деталей уменьшается на 1:
\[P(A_2|A_1) = \frac{\text{количество бракованных деталей} - 1}{\text{общее количество деталей} - 1} = \frac{6}{26}\]

\(P(A_3|A_1 \cap A_2)\) - вероятность извлечения третьей бракованной детали при условии, что первые две детали были бракованными. При извлечении третьей детали, общее количество деталей уменьшается на 2, а количество бракованных деталей уменьшается на 2:
\[P(A_3|A_1 \cap A_2) = \frac{\text{количество бракованных деталей} - 2}{\text{общее количество деталей} - 2} = \frac{5}{25}\]

Теперь подставим значения в формулу условной вероятности:
\[P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{5}{25} \cdot \frac{6}{26} \cdot \frac{7}{27} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{25 \cdot 26 \cdot 27}\]

Сократим числитель и знаменатель столько, насколько это возможно:
\[P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac{210}{17550} = \frac{2}{175}\]

Итак, событие "В" - все извлеченные детали являются бракованными, имеет вероятность \(\frac{2}{175}\).