Какова высота барьера u, если пучок электронов с энергией w=25 эв сталкивается с полубесконечным потенциальным

Золотой_Вихрь

35

Для решения данной задачи нам необходимо использовать законы квантовой механики и принцип непрерывности вероятностных плотностей.

Пусть \(E\) - энергия электронов, \(w\) - энергия электронов, и \(x\) - расстояние от начала барьера.

Согласно принципу непрерывности вероятностных плотностей, вероятность обнаружить электрон в интервале \([x, x + dx]\) равна производной вероятности пройти через барьер в этом интервале. То есть

\[
\frac{dP}{dx} = \frac{2m}{\hbar^2}(V - E)
\]

где \(m\) - масса электрона, \(\hbar\) - пониженная постоянная Планка, \(V\) - высота барьера.

Также дано относительная плотность вероятности \(\eta\) при расстоянии \(x = 0.19\) нм от начала барьера:

\[
\eta = \frac{dP}{dx} \cdot \frac{dx}{P} = \frac{2m}{\hbar^2}(V - E) \cdot \frac{dx}{P}
\]

Заметим, что вероятность прохождения электрона через барьер равна единице, так как столкновение электрона с барьером есть. То есть, \(\int_{0}^{+\infty}\frac{dP}{dx} \cdot dx = 1\). Таким образом,

\[
\int_{0}^{+\infty}\frac{2m}{\hbar^2}(V - E) dx = 1
\]

\[
\frac{2m}{\hbar^2}(V - E) \int_{0}^{+\infty}dx = 1
\]

\[
\frac{2m}{\hbar^2}(V - E) \cdot x\bigg|_{0}^{+\infty} = 1
\]

Так как барьер полубесконечный, то \(x \rightarrow +\infty\), следовательно, \((V - E) = \frac{\hbar^2}{2mx}\).

Продолжая решение задачи, мы можем использовать данное значение \((V - E)\) и известное значение \(x\) для нахождения высоты барьера \(V\):

\[
(V - E) = \frac{\hbar^2}{2mx} \Longrightarrow V = \frac{\hbar^2}{2mx} + E
\]

Теперь мы можем подставить уже данное значение энергии \(w = 25\) эВ и расстояния \(x = 0.19\) нм:

\[
V = \frac{(1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с})^2}{2 \cdot (9.10938188 \times 10^{-31} \, \text{кг}) \cdot (0.19 \times 10^{-9} \, \text{м})} + 25 \, \text{эВ}
\]

А теперь переведем значение \(V\) в электронвольты, так как дана энергия заключительной стадии электрона:

\[
V = \frac{(1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с})^2}{2 \cdot (9.10938188 \times 10^{-31} \, \text{кг}) \cdot (0.19 \times 10^{-9} \, \text{м})} + 25 \, \text{эВ} \approx 28.9 \, \text{эВ}
\]

Таким образом, высота барьера \(V\) составляет около 28.9 эВ.

Надеюсь, это решение понятно для школьника.