Какова высота цилиндра, если площадь осевого сечения составляет 6√пи дм² в квадрате, а площадь основания - 25 дм²?

Yaschik_5087

7

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой для объема цилиндра, выраженной через площадь основания и высоту:

\[ V = S \cdot h \]

Где V - объем цилиндра, S - площадь основания, а h - высота цилиндра.

Нам известны значения площади осевого сечения (S) и площади основания (S₀). По условию, S = 6√пи дм², а S₀ = 25 дм².

Мы также знаем, что площадь основания цилиндра (S₀) выражается через площадь осевого сечения (S) и диаметр цилиндра (d) по формуле:

\[ S₀ = \frac{S}{\frac{\pi}{4} \cdot d²} \]

Но в нашем случае нам дано, что решение должно быть найдено без использования диаметра цилиндра. Поэтому нам нужно найти высоту цилиндра, используя только известные данные.

Мы можем найти диаметр цилиндра (d) с помощью площади основания (S₀), используя следующую формулу:

\[ d = \sqrt{\frac{S}{\frac{\pi}{4} \cdot S₀}} \]

Подставив известные значения, получим:

\[ d = \sqrt{\frac{6√\pi}{\frac{\pi}{4} \cdot 25}} = \sqrt{\frac{24√\pi}{\pi \cdot 25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} \]

Теперь, зная диаметр цилиндра, мы можем найти его высоту. Для этого воспользуемся формулой для площади осевого сечения (S) и диаметром цилиндра (d):

\[ S = \frac{\pi}{4} \cdot d² \cdot h \]

Подставим известные значения:

\[ 6√\pi = \frac{\pi}{4} \cdot \left(\sqrt{\frac{24}{25}}\right)² \cdot h \]

\( \left(\sqrt{\frac{24}{25}}\right)² = \frac{24}{25} \)

Теперь решим уравнение относительно высоты (h):

\[ 6√\pi = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{24}{25} \cdot h \]

Упростим выражение:

\[ 6√\pi = \frac{6\pi}{25} \cdot h \]

Теперь найдем высоту (h):

\[ h = \frac{6√\pi}{\frac{6\pi}{25}} \]

Упростим выражение:

\[ h = \frac{6√\pi \cdot 25}{6\pi} = \frac{25√\pi}{\pi} \]

Таким образом, высота цилиндра равна \( \frac{25√\pi}{\pi} \) дециметров, или примерно \( 7,97 \) дециметров.