Какова высота и площадь полной поверхности пирамиды, основанной на равнобедренном треугольнике с углом при вершине

Letuchaya_Mysh_2387

32

Чтобы найти высоту и площадь полной поверхности пирамиды, основанной на равнобедренном треугольнике, нам понадобятся формулы и свойства геометрии.

Давайте начнем с высоты пирамиды. Мы знаем, что дан равнобедренный треугольник с углом при вершине 60 градусов и стороной основания в 8 см. Когда угол при вершине равен 60 градусам, это означает, что он делит основание пополам.

Таким образом, длина каждой стороны основания равна \(\frac{8}{2} = 4\) см.

Теперь нам нужно найти высоту треугольника. Мы знаем, что это равнобедренный треугольник, значит, высота будет перпендикулярна основанию и пойдет из вершины треугольника к середине основания.

Так как у нас равносторонний треугольник, высота может быть найдена с помощью формулы \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим значение длины стороны \(a = 4\) в данную формулу:
\[h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, высота пирамиды равна \(2\sqrt{3}\) см.

Теперь рассмотрим площадь полной поверхности пирамиды. Она состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания будет равна площади равнобедренного треугольника. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - длина основания, а \(h\) - высота треугольника.

Подставим значение длины основания \(a = 8\) см и высоты треугольника \(h = 2\sqrt{3}\) см в данную формулу:
\[S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности пирамиды. Каждая боковая грань пирамиды является равнобедренным треугольником. Мы знаем, что углы при ребрах основания равны 30 градусам.

Таким образом, каждая боковая грань будет иметь стороны длиной 8 см, 8 см и 8 см, и углы 30 градусов, 30 градусов и 120 градусов.

Для нахождения площади боковой поверхности равнобедренного треугольника можно воспользоваться формулой \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставим значение длины стороны \(a = 8\) см в данную формулу:
\[S_{боковая} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
\[S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая} = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Итак, высота пирамиды равна \(2\sqrt{3}\) см, а площадь полной поверхности пирамиды равна \(16\sqrt{3}\) см².