Какова сумма квадратов возможных значений для третьей стороны треугольника, если известно, что две его стороны равны

Zabytyy_Sad_74

47

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать теорему Пифагора и формулу для нахождения площади треугольника. Давайте разберем ее шаг за шагом.

1. Задача требует найти сумму квадратов возможных значений для третьей стороны треугольника. Обозначим третью сторону как $c$.

2. Из условия задачи известно, что две стороны треугольника равны 7 см и 8 см. Обозначим их как $a$ и $b$ соответственно.

3. Если стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$, то теорема Пифагора гласит: квадрат длины гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) равен сумме квадратов длин двух других сторон. Таким образом, у нас есть уравнение:

$$a^2+b^2=c^2$$

4. Далее, известно, что площадь треугольника равна $16\sqrt{3}{\text{см}}^2$. Площадь треугольника можно выразить через стороны треугольника следующим образом:

$$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin (\mathrm{\angle }C)$$

Где $C$ - угол между сторонами $a$ и $b$. Поскольку у нас нет информации о величине угла $C$, мы использовать формулу площади треугольника не сможем.

5. Однако, мы можем использовать формулу для площади треугольника, составленного на основе трех сторон:

$$\text{Площадь}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Где $s$ - полупериметр треугольника, вычисляемый как $\frac{a+b+c}{2}$.

В нашем случае, площадь треугольника равна $16\sqrt{3}{\text{см}}^2$, поэтому мы можем записать:

$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=16\sqrt{3}$$

6. Для упрощения решения, возведем это уравнение в квадрат:

$$s(s-a)(s-b)(s-c)=(16\sqrt{3}{)}^2$$

7. Подставим известные значения $a=7$ и $b=8$ в уравнение:

$$s(s-7)(s-8)(s-c)=(16\sqrt{3}{)}^2$$

8. Упростим уравнение, раскрыв скобки:

$$s(s^3-15s^2+56s-56c)=288\cdot 3$$

9. Выразим $s$ через $c$:

$$s^4-15s^3+56s^2-56cs=864$$

10. Найдем возможные значения для $c$ путем подстановки различных целочисленных значений $c$ в уравнение и найдем значения $s$ и, соответственно, суммы квадратов $c^2$.

11. Проведя несколько вычислений получаем:

При $c=6$, $s=9$, $c^2=36$.

При $c=10$, $s=10$, $c^2=100$.

Таким образом, сумма квадратов возможных значений для третьей стороны треугольника равна $36+100=136$ квадратных сантиметров.

Это и есть ответ на задачу.