Какова высота, на которой ускорение камня станет равным 0.1g, если камень падает со скоростью, меняющейся

Shmel

12

Для решения этой задачи нам потребуется найти значение времени \( t \), при котором ускорение камня станет равным \( 0.1g \).

Данное ускорение соответствует уравнению \( a = 0.1g \). Так как усскорение определено как первая производная скорости по времени, можно записать уравнение для ускорения следующим образом: \( a = \frac{dv}{dt} \).

Используя заданный закон изменения скорости, мы можем найти выражение для ускорения:

\[ a = \frac{d}{dt}(g\sqrt{\alpha t}) \]

Чтобы найти производную этого выражения, применим правило дифференцирования сложной функции. Пусть \( y = g\sqrt{\alpha t} \), тогда

\[ a = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(g\sqrt{\alpha t}) \]

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{dg}{dt}\sqrt{\alpha t} + g \frac{d}{dt}(\sqrt{\alpha t}) \]

Так как \( g \) и \( \alpha \) - постоянные значения, их производные равны нулю. Таким образом, получаем:

\[ \frac{dy}{dt} = g \frac{d}{dt}(\sqrt{\alpha t}) \]

Дифференцируем функцию \( \sqrt{\alpha t} \) по времени \( t \):

\[ \frac{dy}{dt} = g \frac{1}{2\sqrt{\alpha t}} \frac{d}{dt}( \alpha t) \]

\[ \frac{dy}{dt} = g \frac{1}{2\sqrt{\alpha t}} \alpha = \frac{g\alpha}{2\sqrt{\alpha t}} \]

Таким образом, уравнение для ускорения выглядит следующим образом:

\[ a = \frac{g\alpha}{2\sqrt{\alpha t}} \]

Теперь мы можем приравнять это ускорение к \( 0.1g \) и решить полученное уравнение для \( t \):

\[ \frac{g\alpha}{2\sqrt{\alpha t}} = 0.1g \]

Сократим \( g \) с обеих сторон:

\[ \frac{\alpha}{2\sqrt{\alpha t}} = 0.1 \]

Домножим обе стороны на \( 2\sqrt{\alpha t} \):

\[ \alpha = 0.2\sqrt{\alpha t} \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ \alpha^2 = 0.04\alpha t \]

Разделим обе части на \( \alpha \):

\[ \alpha = 0.04t \]

Теперь можно выразить \( t \):

\[ t = \frac{\alpha}{0.04} \]

Подставим значение \( \alpha = 1 \) c:

\[ t = \frac{1}{0.04} = 25 \] с

Таким образом, камень достигнет высоты, на которой ускорение станет равным \( 0.1g \), через 25 секунд после начала своего падения.