Через какое время после того, как жонглер подбросит второй шарик со скоростью, равной начальной скорости первого

Lev

1

Для решения данной задачи нам потребуется использовать знания о вертикальном движении тел под действием гравитации.

Пусть \(v_1\) - начальная скорость первого шарика, \(v_2\) - скорость второго шарика после броска, \(h_1\) - высота, на которой находится первый шарик, \(h_2\) - высота, на которой находится второй шарик в момент броска. В данной задаче предполагается, что начальная высота обоих шариков одинакова.

В первый момент времени первый шарик находится на высоте \(h_1\) и имеет начальную скорость \(v_1\). Под действием гравитации его вертикальная скорость будет убывать, а высота будет меняться согласно уравнению свободного падения:

\[h_1 = v_1t - \frac{gt^2}{2},\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (принимается равным приближенно 9,8 м/с²).

После подбрасывания второго шарика со скоростью \(v_2\), у него начальная высота также будет \(h_1\). Он начнет двигаться с постоянной вертикальной скоростью \(v_2\) и падать только под влиянием гравитации. Уравнение его движения имеет вид:

\[h_2 = v_2t - \frac{gt^2}{2}.\]

Через какое время значения \(h_1\) и \(h_2\) станут равными? Для этого приравняем выражения для \(h_1\) и \(h_2\):

\[v_1t - \frac{gt^2}{2} = v_2t - \frac{gt^2}{2}.\]

Сократим общий множитель \(t\) и перенесем все оставшиеся слагаемые в одну часть уравнения:

\[v_1t - v_2t = 0.\]

Факторизуем это уравнение:

\[t(v_1 - v_2) = 0.\]

Так как свободное падение гравитационного поля не меняется, коэффициент \(g\) равен постоянной величине и не влияет на время, когда шарики достигнут одинаковой высоты. Поэтому мы можем не учитывать эту константу.

Теперь рассмотрим фактор \(v_1 - v_2\). Мы знаем, что второй шарик бросается со скоростью, равной начальной скорости первого шарика. Это означает, что \(v_2 = v_1\). Подставим это значение в уравнение:

\[t(v_1 - v_1) = 0.\]

Получаем, что \(t \cdot 0 = 0\) - это верное уравнение.

Таким образом, шарики будут находиться на одинаковой высоте в любой момент времени после подбрасывания второго шарика со скоростью, равной начальной скорости первого шарика.

Ответ: Шарики будут находиться на одинаковой высоте сразу же после подбрасывания второго шарика.