Какова высота над поверхностью Земли, где сила тяготения уменьшилась на 20%? Примите радиус Земли равным 6400

Янгол

59

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать формулу для силы тяготения и использовать ее, чтобы найти высоту, на которой сила тяготения уменьшилась на 20%.

Формула для силы тяготения выглядит следующим образом:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

Где:
- F - сила тяготения,
- G - гравитационная постоянная (примерное значение: \( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{с}^{-2} \)),
- \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы двух объектов,
- r - расстояние между объектами.

В данной задаче мы ищем высоту, на которой сила тяготения уменьшилась на 20%. Это означает, что новая сила тяготения (\( F" \)) стала равна 80% от исходной силы тяготения (\( F \)):

\[ F" = 0.8 \cdot F \]

Теперь мы можем записать новое уравнение для силы тяготения, используя новую силу тяготения (\( F" \)) и неизменные массу объекта (\( m_1 \)) и массу Земли (\( m_2 \)). Радиус Земли (6400) будет использоваться для представления расстояния (\( r \)) в формуле:

\[ 0.8 \cdot F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(r + h)^2}} \]

Где:
- \( h \) - высота над поверхностью Земли.

Мы знаем, что радиус Земли (\( r \)) равен 6400. Масса объекта (\( m_1 \)) неизвестна, но она не влияет на вычисление высоты. Мы также знаем, что масса Земли (\( m_2 \)) остается неизменной.

Чтобы решить уравнение, нам нужно выразить \( h \). Давайте подробнее рассмотрим:

\[ 0.8 \cdot F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(r + h)^2}} \]
\[ 0.8 \cdot F \cdot (r + h)^2 = G \cdot m_1 \cdot m_2 \]
\[ (r + h)^2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{0.8 \cdot F}} \]
\[ r + h = \sqrt{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{0.8 \cdot F}}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{0.8 \cdot F}}} - r \]

Теперь мы можем использовать эту формулу для вычисления высоты над поверхностью Земли, где сила тяготения уменьшилась на 20%.