Какова высота пирамиды SABC при известных длинах отрезков SA=SB=SC=26 см, AB=16см, BC=20см

Солнце_Над_Океаном

43

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и теоремой косинусов.

Для начала обозначим высоту пирамиды как \(h\). Затем разделим пирамиду на четыре треугольника: треугольник SAB, треугольник SBC, треугольник SAC и треугольник ABC.

В треугольнике SAB применим теорему Пифагора:

\[
SA^2 = h^2 + AB^2
\]

Так как \(SA = SB = SC = 26\) см и \(AB = 16\) см, подставим известные значения в уравнение и решим его относительно \(h\):

\[
26^2 = h^2 + 16^2
\]

\[
676 = h^2 + 256
\]

\[
h^2 = 676 - 256
\]

\[
h^2 = 420
\]

\[
h = \sqrt{420} \approx 20,49
\]

Теперь нам нужно найти угол между боковой гранью пирамиды и основанием для применения теоремы косинусов. Пусть этот угол обозначается как \(\alpha\).

В треугольнике ABC применим теорему косинусов:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(\cos(\alpha)\):

\[
20^2 = 16^2 + AC^2 - 2 \cdot 16 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
400 = 256 + AC^2 - 32 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
144 = AC^2 - 32 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

Теперь разберем треугольник SAC. Применим снова теорему косинусов:

\[
SA^2 = AC^2 + SC^2 - 2 \cdot AC \cdot SC \cdot \cos(\alpha)
\]

Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(\cos(\alpha)\):

\[
26^2 = AC^2 + h^2 - 2 \cdot AC \cdot h \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
676 = AC^2 + h^2 - 2 \cdot AC \cdot h \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
676 = AC^2 + 420 - 2 \cdot AC \cdot 20.49 \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
256 = AC^2 - 40.98 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

Итак, у нас есть два уравнения:

\[
144 = AC^2 - 32 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
256 = AC^2 - 40.98 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

Решим эту систему уравнений. Если мы вычтем первое уравнение из второго, получим:

\[
256 - 144 = AC^2 - 40.98 \cdot AC \cdot \cos(\alpha) - AC^2 + 32 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
112 = 73.02 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
AC \cdot \cos(\alpha) = \frac{112}{73.02}
\]

\[
AC \cdot \cos(\alpha) \approx 1.534
\]

Теперь, мы можем использовать значения AC и \(\cos(\alpha)\) в одном из двух уравнений, чтобы найти конкретные значения AC и \(\cos(\alpha)\). Давайте воспользуемся первым уравнением:

\[
144 = AC^2 - 32 \cdot AC \cdot \cos(\alpha)
\]

\[
144 = AC^2 - 32 \cdot AC \cdot 1.534
\]

\[
144 = AC^2 - 48.928 \cdot AC
\]

\[
0 = AC^2 - 48.928 \cdot AC - 144
\]

Решим это уравнение с помощью квадратного корня:

\[
AC = \frac{-(-48.928) \pm \sqrt{(-48.928)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -144}}{2 \cdot 1}
\]

\[
AC \approx \frac{48.928 \pm \sqrt{2394.519904}}{2}
\]

\[
AC \approx \frac{48.928 \pm 48.934}{2}
\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для AC:

\[
AC_1 \approx \frac{48.928 - 48.934}{2} \approx -0.003
\]

\[
AC_2 \approx \frac{48.928 + 48.934}{2} \approx 48.931
\]

Так как расстояние не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение для AC. Таким образом, AC ≈ 48.931 см.

Теперь, когда у нас есть значение AC, мы можем найти значение \(\cos(\alpha)\) из уравнения:

\[
AC \cdot \cos(\alpha) \approx 1.534
\]

\[
48.931 \cdot \cos(\alpha) = 1.534
\]

\[
\cos(\alpha) = \frac{1.534}{48.931}
\]

\[
\cos(\alpha) \approx 0.031
\]

Итак, мы нашли значение \(\cos(\alpha)\). Теперь, чтобы найти угол \(\alpha\), мы можем использовать косинус^-1:

\[
\alpha = \cos^{-1}(0.031)
\]

\[
\alpha \approx 88.816°
\]

Таким образом, мы нашли значение угла \(\alpha\) и значение стороны AC. Теперь мы можем вычислить высоту пирамиды \(h\). Воспользуемся теоремой синусов в треугольнике BAC:

\[
\frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{AC}{\sin(90°)}
\]

\[
h = AC \cdot \frac{\sin(90°)}{\sin(\alpha)}
\]

Подставим известные значения:

\[
h = 48.931 \cdot \frac{1}{\sin(88.816°)}
\]

\[
h \approx 20.029 \, \text{см}
\]

Таким образом, высота пирамиды SABC примерно равна 20.029 см.