Какова высота правильной 6-угольной призмы, если сторона основания равна 4 см и большая диагональ образует с основанием

Язык

66

Чтобы найти высоту правильной 6-угольной призмы, нам потребуется некоторое математическое рассуждение. Давайте разберемся пошагово:

1. Создадим правильный 6-угольник с основанием, сторона которого равна 4 см. Если нарисовать его, то увидим, что этот 6-угольник можно разбить на равносторонние треугольники.

2. Теперь рассмотрим один из таких треугольников. У него одна сторона равна 4 см (это сторона основания призмы), и угол между вектором, проведенным от вершины треугольника до центра основания призмы, и основанием призмы равен 60 градусам.

3. Поскольку у нас равносторонний треугольник, все его стороны и углы равны. Значит, угол между вершиной треугольника и опускательной (перпендикулярной) стороной призмы также равен 60 градусам.

4. Обозначим буквой H высоту призмы, которую мы хотим найти. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный описанным выше углом и отрезком H. Нам известно, что гипотенуза этого треугольника равна 4 см (сторона основания призмы) и угол между гипотенузой и катетом равен 60 градусам.

5. Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников и найти значение высоты H. В данном случае нам нужно найти значение противоположного катета, используя гипотенузу и значение угла.

6. Согласно теореме синусов, мы можем записать соотношение: \[\frac{H}{\sin(60^\circ)} = \frac{4}{\sin(90^\circ)}\]

7. Учитывая, что \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin(90^\circ) = 1\), мы можем переписать наше уравнение следующим образом: \[\frac{H}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{1}\]

8. Теперь, чтобы найти H, мы можем умножить обе стороны уравнения на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\): \[H = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

9. Можно упростить ответ, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[H = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, высота правильной 6-угольной призмы равна \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см.