Какова высота правильной треугольной пирамиды, если ее основание имеет сторону длиной 30 дм, а боковое ребро образует

Скользящий_Тигр_2523

22

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть правильная треугольная пирамида с основанием, которое является треугольником, у которого длина стороны равна 30 дм. Так как треугольная пирамида правильная, то все ее боковые грани также являются правильными треугольниками. Это означает, что угол между любой боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов.

Теперь рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Пусть BCD - основание этой грани, где BC - сторона исходного треугольника, равная 30 дм, а BD - боковое ребро, образующее угол 30 градусов с плоскостью основания.

Так как BD - боковое ребро, его длина соединяет вершину A пирамиды с точкой D на плоскости основания. Обозначим точку D" как проекцию точки D на плоскость основания.

Так как BD образует угол 30 градусов с плоскостью основания, то у нас есть прямоугольный треугольник BDD", где угол BDD" равен 90 градусов.

Обозначим высоту пирамиды как h. Тогда AD" будет являться перпендикуляром к основанию треугольника BCD и равняется h. Также, точка D" делит BD на две части, причем одна из них равна h, а другая - BD".

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD". В этом треугольнике мы знаем угол BDD", который равен 30 градусов, и известны две стороны: AD", равная h, и BD", которую мы обозначим как x.

Используя определение тангенса, мы можем записать:

\(\tan(30^\circ) = \frac{h}{x}\)

С учетом того, что \(\tan(30^\circ)\) равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), мы можем переписать уравнение:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}\)

Умножая обе стороны на x, получаем:

\(x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = h\)

Так как мы знаем, что x равно BD", мы можем получить выражение для общей высоты пирамиды h:

\(h = \frac{x}{\sqrt{3}}\)

Теперь, нам остается найти значение x.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник BDD", мы можем использовать тригонометрические отношения. В нашем случае, мы можем использовать синус, так как нужно найти противолежащую сторону.

Применяя синус к треугольнику BDD", мы получаем:

\(\sin(30^\circ) = \frac{BD"}{BD}\)

Используя значение синуса 30 градусов, равного 0.5, мы можем решить уравнение:

\(0.5 = \frac{BD"}{BD}\)

Умножая обе стороны на BD, мы получаем:

\(0.5 \cdot BD = BD"\)

У нас уже есть выражение для BD", поэтому мы можем подставить его в выражение для h:

\(h = \frac{BD}{2\sqrt{3}}\)

Теперь нам остается только найти значение BD. Так как у нас есть правильная треугольная пирамида, то ребро ее основания равно 30 дм, а это же значение является и длиной стороны исходного треугольника BCD.

Таким образом, высота треугольной пирамиды равна:

\[h = \frac{30\, \text{дм}}{2\sqrt{3}}\]

Путем упрощения данного выражения, мы получаем окончательный ответ:

\[h = \frac{15}{\sqrt{3}}\, \text{дм}\]

Ответ представлен без использования корня.