Какова высота правильной треугольной пирамиды с основанием, длина стороны которого составляет 30 дм, если боковое ребро

Радужный_Сумрак

42

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Понимание задачи
В этой задаче вам требуется найти высоту правильной треугольной пирамиды с основанием, длина стороны которого составляет 30 дм, при условии, что боковое ребро формирует угол 30° с плоскостью основания.

Шаг 2: Определение правил и формул
Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды, а также геометрические свойства треугольника и прямоугольного треугольника.

Шаг 3: Решение задачи
Рассмотрим треугольник ABC, где АВС - основание пирамиды, а AM - высота (M - вершина пирамиды). Пусть BC - боковое ребро пирамиды. Из задачи известно, что сторона треугольника АВС равна 30 дм, а угол AMС равен 30°.

Обратимся к геометрическим свойствам прямоугольного треугольника. Так как угол AMС равен 30°, то угол AMC (угол в треугольнике АМС) равен 60°. В прямоугольном треугольнике AMC, угол ACB (угол в треугольнике ABC) является прямым углом (равен 90°). Значит, угол AMB - это 90° - 60° = 30°.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины бокового ребра пирамиды. В прямоугольном треугольнике АMB, сторона АВ равна 30 дм, а угол AMB равен 30°.

- Применяя теорему Пифагора для треугольника АMB, имеем:
AB^2 + BM^2 = AM^2,
(30 дм)^2 + BM^2 = AM^2,
900 дм^2 + BM^2 = AM^2.

Шаг 4: Вычисление результата
Теперь найдем высоту пирамиды, зная, что боковое ребро равно BM.

Для этого нам нужно найти длину бокового ребра пирамиды. Применяя теорему Пифагора, имеем:
900 дм^2 + BM^2 = AM^2 ... (1)

У нас также задано, что угол AMС равен 30°. Зная это, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения соотношения между сторонами треугольника.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник AMС:
tan(AMС) = BM / AM.

Подставим значение угла AMС (30°) в это уравнение:
tan(30°) = BM / AM.

Значение тангенса угла 30° равно 1 / sqrt(3) (это можно найти в таблице тангенсов). Подставляем это в уравнение:
1 / sqrt(3) = BM / AM.

Мы знаем, что BM^2 + 900 дм^2 = AM^2 (из уравнения (1)). Заменим AM^2 на (BM^2 + 900) в уравнении с тангенсом:
1 / sqrt(3) = BM / sqrt(BM^2 + 900).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно BM, чтобы найти длину бокового ребра:
sqrt(BM^2 + 900) = BM * sqrt(3),
BM^2 + 900 = 3 * BM^2,
2 * BM^2 = 900,
BM^2 = 450,
BM = sqrt(450) ≈ 21.213 дм.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, зная длину бокового ребра. Возвращаемся к уравнению (1):
900 дм^2 + BM^2 = AM^2,
900 + 450 = AM^2,
AM^2 = 1350,
AM = sqrt(1350) ≈ 36.742 дм.

Значит, высота пирамиды составляет примерно 36.742 дм.

Шаг 5: Проверка результата
Чтобы проверить наше решение, можно использовать теорему Пифагора для треугольника AMC:
AM^2 = AC^2 + CM^2.

Подставив известные значения AC = 30 дм и CM = BM ≈ 21.213 дм, имеем:
AM^2 = (30 дм)^2 + (21.213 дм)^2,
AM^2 = 900 дм^2 + 450 дм^2,
AM^2 = 1350 дм^2.

Таким образом, наше решение верно и высота пирамиды составляет примерно 36.742 дм.