Какова высота прямоугольного параллелепипеда, у которого стороны основания равны 2√3 и 4, а диагональ параллелепипеда

Sokol

53

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать тригонометрию и свойства прямоугольного треугольника. Давайте начнем!

1. По условию, у нас есть прямоугольный параллелепипед (прямоугольная призма), у которого стороны основания равны \(2\sqrt{3}\) и 4. Возьмем сторону \(2\sqrt{3}\) как меньшую сторону основания.

2. Также, нам известно, что диагональ параллелепипеда составляет угол 30 градусов с меньшей боковой гранью. Обозначим этот угол как \(\theta\).

3. Давайте найдем длину диагонали параллелепипеда. По теореме Пифагора, длина диагонали равна корню из суммы квадратов длин ребер. Так как две стороны основания равны \(2\sqrt{3}\) и 4, а третья сторона - высота (неизвестная), пусть она будет \(h\), мы можем записать это как:

\[\text{диагональ} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2 + h^2}\]

4. У нас также есть информация о угле между диагональю и меньшей боковой гранью, который составляет 30 градусов. По определению тангенса, мы можем записать:

\[\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\]

В данном случае, противолежащий катет - это высота \(h\), а прилежащий катет - это диагональ параллелепипеда. Подставим значения и решим уравнение:

\[\frac{h}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2 + h^2}} = \tan(30^\circ)\]

5. Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной \(h\). Решим его.

Упростим уравнение, подставив значения:

\[\frac{h}{\sqrt{12 + 16 + h^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{12 + 16 + h^2}\):

\[h = \frac{\sqrt{12 + 16 + h^2}}{\sqrt{3}}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаменателя:

\[h^2 = \frac{12 + 16 + h^2}{3}\]

Умножим обе части уравнения на 3:

\[3h^2 = 28 + h^2\]

Вычтем \(h^2\) из обеих частей уравнения:

\[2h^2 = 28\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[h^2 = 14\]

Извлечем квадратный корень:

\[h = \sqrt{14}\]

Таким образом, высота прямоугольного параллелепипеда равна \(\sqrt{14}\).

Ответ: Высота прямоугольного параллелепипеда составляет \(\sqrt{14}\) единиц.