Какова высота прямой призмы с ромбическим основанием, если ее боковая поверхность составляет 96 дм2, а площадь полной

Lesnoy_Duh

12

Чтобы найти высоту прямой призмы с ромбическим основанием, имея информацию о площади боковой поверхности и площади полной поверхности, следует разобраться в свойствах ромбической призмы и использовать соответствующие формулы.

По определению, боковая поверхность призмы это сумма площадей всех ее боковых граней. В случае ромбической призмы, каждая боковая грань является ромбом. Площадь ромба можно найти, зная длину одной его стороны \(a\) и угол \(\alpha\) между этой стороной и другой стороной ромба, по формуле:
\[S_{\text{б}} = a^2 \sin(\alpha)\]
где \(S_{\text{б}}\) - площадь одной боковой грани.

Площадь полной поверхности призмы можно найти, зная площадь основания \(S_{\text{осн}}\) и площадь боковой поверхности \(S_{\text{б}}\), по формуле:
\[S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{б}}\]

В данной задаче, известно, что \(S_{\text{б}} = 96 \, \text{дм}^2\) и \(S_{\text{полн}} = 128 \, \text{дм}^2\). Также известно, что основание ромбической призмы - ромб, поэтому все его стороны равны. Высота призмы - это расстояние между ее основаниями.

Чтобы найти высоту призмы, разберемся с формулой для площади боковой поверхности призмы. Поскольку боковая поверхность призмы состоит из четырех одинаковых ромбов (по одной на каждую боковую сторону основания), площадь одной боковой грани \(S_{\text{б}}\) можно найти, разделив всю площадь боковой поверхности на количество боковых граней (в данном случае на 4), то есть:
\[S_{\text{б}} = \frac{S_{\text{полн}}}{4} = 24 \, \text{дм}^2\]

Так как каждая сторона ромба является основанием, то площадь одного ромба можно найти, используя формулу:
\[S_{\text{осн}} = \frac{S_{\text{полн}} - 2S_{\text{б}}}{2} = \frac{128 \, \text{дм}^2 - 2 \cdot 24 \, \text{дм}^2}{2} = 40 \, \text{дм}^2\]

Теперь найдем длину стороны ромба \(a\), зная его площадь \(S_{\text{осн}}\). Для этого воспользуемся формулой для площади ромба:
\[S_{\text{осн}} = a^2 \sin(\alpha)\]

В ромбе все углы равны, поэтому \(\alpha = 90^\circ\). Также, воспользовавшись формулой для площади ромба, можем выразить длину стороны ромба:
\[a = \sqrt{\frac{S_{\text{осн}}}{\sin(\alpha)}} = \sqrt{\frac{40 \, \text{дм}^2}{1}} = \sqrt{40} \, \text{дм}\]

Так как высота призмы это расстояние между ее основаниями, то она равна диагонали ромба, а для нахождения диагонали в ромбе, мы можем использовать теорему Пифагора. При этом известно, что диагональ ромба является высотой призмы. Итак, вычислим высоту призмы:
\[h = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2 \cdot 40} \, \text{дм} = \sqrt{80} \, \text{дм} \approx 8,944 \, \text{дм}\]

Таким образом, высота прямой призмы с ромбическим основанием составляет около 8,944 дм.