Какова высота шестиугольного призматического стакана, в который плотно поместили 3 одинаковых шара, если площадь

Grey_5945

38

Шестигранная призматическая форма состоит из двух оснований - основания шестиугольной призмы и шести равных боковых граней, каждая из которых является прямоугольником. Чтобы найти высоту стакана, мы должны разобрать каждую часть задачи и посчитать нужные значения.

Площадь поверхности каждого шара равна 100π см². Формула для площади поверхности шара выглядит следующим образом:

\[4πr^2 = 100π\]

Мы можем сократить π с обеих сторон:

\[4r^2 = 100\]

Теперь разделим обе стороны на 4, чтобы найти значение радиуса r:

\[r^2 = \frac{100}{4} = 25\]

\[r = \sqrt{25} = 5\]

Таким образом, радиус каждого шара равен 5 см.

Поскольку в стакане помещаются 3 одинаковых шара, нужно учесть столько же объемов, сколько занимают эти шары.

Объем одного шара можно найти с помощью формулы:

\[V = \frac{4}{3}πr^3\]

Подставим значение радиуса:

\[V = \frac{4}{3}π(5^3) = \frac{4}{3}π(125) = \frac{500}{3}π\]

Теперь нужно учесть объемы всех трех шаров, поскольку они все помещаются в стакан. Умножим объем одного шара на 3:

\[3 \cdot \frac{500}{3}π = 500π\]

Таким образом, объем трех шаров равен 500π см³.

Теперь мы можем найти высоту шестиугольного призматического стакана. Формула для объема такой призмы можно записать так:

\[V = A \cdot h\]

, где V - объем, A - площадь основания, h - высота.

Мы нашли, что объем трех шаров равен 500π см³. Также нам дано, что основание стакана - шестиугольник. Площадь шестиугольника зависит от длины его стороны, а не от радиуса шаров. Давайте представим, что длина каждой стороны шестиугольного основания равна s.

Теперь мы можем найти площадь основания шестиугольной призмы с помощью формулы:

\[A = \frac{3}{2}\sqrt{3}s^2\]

Но нам неизвестна сторона s, поэтому продолжим наши рассуждения.

Поскольку стакан является призмой, он имеет форму прямоугольника вдоль его высоты. Для нашей задачи, мы можем представить, что длина прямоугольника равна s, а ширина прямоугольника равна высоте стакана. Таким образом, у нас есть следующее:

\[A = s \cdot h\]

Так как площадь основания шестиугольной призматической формы равна площади прямоугольника, получаем:

\[\frac{3}{2}\sqrt{3}s^2 = s \cdot h\]

Теперь мы можем сократить s с обеих сторон:

\[\frac{3}{2}\sqrt{3}s = h\]

Таким образом, мы нашли выражение для высоты стакана h:

\[h = \frac{3}{2}\sqrt{3}s\]

Мы не знаем значение стороны s шестиугольника, но мы можем использовать объем трех шаров, чтобы выразить ее через радиус r шаров.

Объем одного шара в терминах радиуса r можно выразить как:

\[V_{шара} = \frac{4}{3}πr^3\]

Подставляем значение радиуса:

\[V_{шара} = \frac{4}{3}π(5^3) = \frac{4}{3}π(125) = \frac{500}{3}π\]

Мы знаем, что объем трех шаров равен 500π см³:

\[3V_{шара} = 3 \cdot \frac{500}{3}π = 500π = A \cdot h\]

Так как площадь основания шестиугольной призматической формы равна площади прямоугольника, получаем:

\[s \cdot h = 500π\]

Мы знаем, что \(h = \frac{3}{2}\sqrt{3}s\), поэтому можем вставить это значение:

\[s \cdot \frac{3}{2}\sqrt{3}s = 500π\]

Домножаем s на \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\):

\[\frac{3}{2}\sqrt{3}s^2 = 500π\]

Таким образом, мы нашли формулу для площади основания:

\[\frac{3}{2}\sqrt{3}s^2 = 500π\]

Мы можем решить это уравнение, чтобы найти значение стороны s:

\[s^2 = \frac{500π}{\frac{3}{2}\sqrt{3}}\]

\[s = \sqrt{\frac{500π}{\frac{3}{2}\sqrt{3}}}\]

Теперь у нас есть значение стороны s, мы можем найти высоту стакана, вставив его значение в формулу:

\[h = \frac{3}{2}\sqrt{3}s\]

Подставляем значение s:

\[h = \frac{3}{2}\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{500π}{\frac{3}{2}\sqrt{3}}}\]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[h = \frac{3}{2}\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{500π}{\frac{3}{2}\sqrt{3}}} = \sqrt{500π}\]

Таким образом, высота шестиугольного призматического стакана, в который плотно поместили 3 одинаковых шара с площадью поверхности 100π см² каждый, равна \(\sqrt{500π}\) или приблизительно 39.79 см.