Какова высота столба масла в трубке после поднятия ртути на 1,5 см относительно первоначального уровня?

Vitaliy

9

Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон Паскаля, который гласит, что изменение давления в жидкости распространяется равномерно во всех направлениях. Поскольку мы имеем дело с жидкостью, в данном случае маслом, это правило может быть применено.

Давайте обозначим величину давления в трубке перед поднятием ртути как \(P_1\) и высоту столба масла как \(h_1\). После поднятия ртути на 1,5 см, давление в трубке увеличится на величину давления ртути, которую мы обозначим как \(\Delta P\). Это изменение давления будет распространяться на столб масла, вызывая его подъем.

Теперь давайте выразим связь между давлением в трубке и высотой столба масла с использованием понятия давления в жидкости. Давление \(P\) внутри жидкости в точке зависит от высоты столба масла \(h\) и плотности жидкости \(\rho\) по формуле:

\[P = \rho \cdot g \cdot h\]

Где \(\rho\) - плотность масла, а \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,8 \, \text{м/c}^2).

Теперь мы можем написать уравнение для давления вначале (\(P_1\)) и после (\(P_2\)) поднятия ртути:

\[P_1 = \rho \cdot g \cdot h_1\]
\[P_2 = \rho \cdot g \cdot (h_1 + \Delta h)\]

Так как давление распространяется равномерно в жидкости, \(\Delta P\) будет равно разности давлений после и перед поднятием ртути:

\[\Delta P = P_2 - P_1 = \rho \cdot g \cdot (h_1 + \Delta h) - \rho \cdot g \cdot h_1\]

Раскрываем скобки:

\[\Delta P = \rho \cdot g \cdot h_1 + \rho \cdot g \cdot \Delta h - \rho \cdot g \cdot h_1\]

Hаходим разность давлений:

\[\Delta P = \rho \cdot g \cdot \Delta h\]

Теперь мы можем подставить величину изменения давления \(\Delta P\), которая равна давлению ртути при поднятии, равной \(13{,}6 \, \text{кг/м}^2\) (0,13 Мпа), и высоту подъема ртути \(\Delta h = 0{,}015 \, \text{м}\) в уравнение:

\[0{,}13 \, \text{Мпа} = \rho \cdot 9{,}8 \, \text{м/c}^2 \cdot 0{,}015 \, \text{м}\]

Решая данное уравнение (разделив обе части уравнения на \(9{,}8 \, \text{м/c}^2\)):

\[\rho = \frac{0{,}13 \, \text{Мпa}}{9{,}8 \, \text{м/c}^2 \cdot 0{,}015 \, \text{м}}\]

Вычисляя числовое значение, получим:

\[\rho \approx 88{,}85 \, \text{кг/м}^3\]

Плотность масла составляет примерно \(88{,}85 \, \text{кг/м}^3\).

Теперь мы можем использовать это значение плотности для расчета высоты столба масла (\(h_2\)) после поднятия ртути:

\[0{,}13 \, \text{Мпa} = 88{,}85 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9{,}8 \, \text{м/c}^2 \cdot h_2\]

Решаем уравнение:

\[h_2 = \frac{0{,}13 \, \text{Мпa}}{9{,}8 \, \text{м/c}^2 \cdot 88{,}85 \, \text{кг/м}^3}\]

Вычисляем численное значение:

\[h_2 \approx 0{,}146 \, \text{м}\]

Таким образом, высота столба масла в трубке после поднятия ртути на 1,5 см относительно первоначального уровня составляет примерно 0,146 метра.