Какова высота треугольника, проведенная к основанию, если боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7

Chereshnya_9487

62

Для начала, давайте определимся, что такое "высота треугольника, проведенная к основанию". Высота треугольника - это отрезок, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону и перпендикулярный этой стороне. Проведение высоты к основанию означает, что мы проводим высоту из вершины треугольника к стороне, которую мы называем основанием.

Данные в задаче говорят нам, что треугольник является равнобедренным. Равнобедренный треугольник имеет две равные боковые стороны и два равных угла напротив этих сторон. Таким образом, в нашем случае, у нас есть боковая сторона, которая равна 7 см. Обозначим эту сторону как AB.

Основание треугольника не указано в условии задачи, поэтому обозначим его как CD, где C - противоположная вершина основания, а D - середина боковой стороны AB.

Для решения задачи, давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, где AD - это половина основания CD.

Так как треугольник равнобедренный, то BD также является биссектрисой угла B. Биссектриса угла делит его на два равных угла. В нашем случае, угол ABD равен углу ADB.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AD. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон.

Таким образом, мы можем записать:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

Так как AB = 7 (по условию задачи), а DB = AD (так как BD является биссектрисой), мы можем записать:

\[7^2 = AD^2 + AD^2\]

Решим это уравнение:

\[49 = 2AD^2\]

\[AD^2 = \frac{49}{2}\]

\[AD = \sqrt{\frac{49}{2}}\]

Теперь нам нужно найти высоту треугольника ABH, где H - это точка пересечения высоты с основанием.

Рассмотрим треугольник ABH. Он является прямоугольным треугольником, так как высота перпендикулярна основанию BH.

То есть, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABH:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

Мы знаем, что AB = 7 и AD = \(\sqrt{\frac{49}{2}}\). Также мы знаем, что BH = \(\frac{AD}{2}\), поскольку точка H - это середина стороны AB.

Используя эту информацию, мы можем записать:

\[7^2 = AH^2 + \left(\frac{AD}{2}\right)^2\]

\[49 = AH^2 + \frac{AD^2}{4}\]

\[49 = AH^2 + \frac{\left(\sqrt{\frac{49}{2}}\right)^2}{4}\]

\[49 = AH^2 + \frac{49}{8}\]

Теперь решим это уравнение:

\[AH^2 = 49 - \frac{49}{8}\]

\[AH^2 = \frac{343}{8} - \frac{49}{8}\]

\[AH^2 = \frac{294}{8}\]

\[AH = \sqrt{\frac{294}{8}}\]

\[AH = \frac{\sqrt{294}}{\sqrt{8}}\]

\[AH = \frac{3\sqrt{98}}{4\sqrt{2}}\]

\[AH = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{49}}{4\sqrt{2}}\]

\[AH = \frac{3\cdot 7}{4} = \frac{21}{4}\]

Таким образом, высота треугольника, проведенная к основанию, равна \(\frac{21}{4}\) см.