Какова высота треугольной пирамиды, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой l и боковыми

Киска

15

Чтобы найти высоту треугольной пирамиды, основанием которой является прямоугольный треугольник, нужно использовать теорему Пифагора и свойства треугольника.

Для начала, обратимся к прямоугольному треугольнику, основанием которого является основание треугольной пирамиды. По условию задачи, гипотенуза этого треугольника равняется \(l\), а два боковых ребра, наклоненных к плоскости основания под углом 60°, обозначим как \(a\) и \(b\).

Используя теорему Пифагора, мы можем записать следующее соотношение:

\[l^2 = a^2 + b^2\]

Далее, чтобы найти высоту пирамиды, нам нужно знать расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания. Обозначим это расстояние как \(h\).

Заметим, что треугольник, образуемый высотой пирамиды и одной из боковых сторон прямоугольного треугольника, является равнобедренным. Поскольку боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°, то равные катеты равнобедренного треугольника составляют угол 60°.

Применим теперь тригонометрические соотношения. Из равнобедренного треугольника, мы знаем, что \(\cos 60° = \frac{h}{l}\).

Используя теорему косинусов, можно получить следующее соотношение:

\[h = l \cdot \cos 60°\]

Заметим, что \(\cos 60° = \frac{1}{2}\), поэтому мы получаем следующий ответ:

\[h = \frac{l}{2}\]

Таким образом, высота треугольной пирамиды, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой \(l\) и боковыми ребрами, наклоненными к плоскости основания под углом 60°, равна \(\frac{l}{2}\).