Какова высота усеченного конуса, если радиусы его оснований составляют 3 и 6, а его объем равен 84π?

Иванович

12

Хорошо, рассмотрим задачу о высоте усеченного конуса. Для начала, нам понадобится формула для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + r^2 + Rr) \]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, \(h\) - высота конуса, \(R\) - радиус большего основания, \(r\) - радиус меньшего основания.

Мы знаем, что объем конуса равен \(84\pi\), радиус большего основания \(R\) равен 6, а радиус меньшего основания \(r\) равен 3. Подставим эти значения в формулу и найдем высоту конуса:

\[ 84\pi = \frac{1}{3} \pi h (6^2 + 3^2 + 6 \cdot 3) \]

Упростим это выражение:

\[ 84\pi = \frac{1}{3} \pi h (36 + 9 + 18) \]
\[ 84\pi = \frac{1}{3} \pi h \cdot 63 \]

Теперь делим обе части уравнения на \(\pi\) и \(\frac{1}{3}\), чтобы избавиться от этих множителей:

\[ \frac{84\pi}{\frac{1}{3} \pi} = h \cdot 63 \]
\[ 252 = 63h \]

Далее, делим обе части на 63:

\[ \frac{252}{63} = h \]
\[ 4 = h \]

Таким образом, высота усеченного конуса равна 4.

Итак, ответ: Высота усеченного конуса равна 4.