Какова высота усеченного конуса, полученного путем проведения плоскости через середину образующей и параллельной

Владислав

43

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

Пусть \(h\) - искомая высота усеченного конуса, \(r_1\) - радиус большего основания, \(r_2\) - радиус меньшего основания, \(l\) - образующая конуса.

Известно, что диаметр большего основания равен 20 см, следовательно, радиус большего основания \(r_1 = \frac{20}{2} = 10\) см.

Также известно, что образующая конуса равна 26 см.

Рассмотрим треугольник, образованный образующей, радиусами большего и меньшего оснований. Этот треугольник подобен тому, который образуется в основании усеченного конуса.

Найдем радиус меньшего основания \(r_2\). Для этого воспользуемся свойством подобных треугольников. Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{l}{h}\]

Подставим известные значения и найдем радиус меньшего основания:

\[\frac{10}{r_2} = \frac{26}{h}\]

Выразим \(r_2\):

\[r_2 = \frac{10h}{26} = \frac{5h}{13}\]

Теперь рассмотрим треугольник с высотой, радиусами большего и меньшего оснований. Этот треугольник также подобен тому, который образуется в основании усеченного конуса.

Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:

\[r_1^2 = r_2^2 + h^2\]

Подставим значения радиусов и решим уравнение относительно \(h\):

\[10^2 = \left(\frac{5h}{13}\right)^2 + h^2\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[100 = \frac{25h^2}{169} + h^2\]

Приведем общий знаменатель и получим квадратное уравнение:

\[100 \cdot 169 = 25h^2 + 169h^2\]

Решим это уравнение:

\[16900 = 194h^2\]

\[h^2 = \frac{16900}{194} = \frac{8450}{97}\]

\[h \approx 16.79\]

Таким образом, высота усеченного конуса, полученного путем проведения плоскости через середину образующей и параллельной плоскости основания, составляет примерно 16.79 см.