Каково будет расстояние S, на которое шайбы будут разлетаться после столкновения, их скорость постепенно замедляется

Magicheskiy_Troll

66

\(0.2\). Помимо этого, описано, что шайбы двигались равномерно до столкновения. Найдем расстояние \(S\), на которое шайбы разлетятся после столкновения.

Для начала, обратим внимание на сохранение импульса. Поскольку система замкнута и на нее не действуют внешние силы, сумма импульсов до и после столкновения должна сохраняться.

Масса первой шайбы \(m_1 = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг}\), а масса второй шайбы \(m_2 = 30 \, \text{г} = 0.03 \, \text{кг}\).

Пусть \(v_1\) и \(v_2\) - скорости первой и второй шайбы после столкновения соответственно.

Обозначим начальные скорости шайб как \(u_1\) и \(u_2\) (до столкновения). Так как шайбы двигались равномерно до столкновения, мы можем записать:

\[u_1 = 2 \, \text{м/с}\]
\[u_2 = 0 \, \text{м/с}\]

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения:

\[m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 = m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2\]

Подставляем известные значения:

\[0.01 \, \text{кг} \cdot 2 \, \text{м/с} + 0.03 \, \text{кг} \cdot 0 \, \text{м/с} = 0.01 \, \text{кг} \cdot v_1 + 0.03 \, \text{кг} \cdot v_2\]

\[0.02 \, \text{кг} \cdot \text{м/с} = 0.01 \, \text{кг} \cdot v_1 + 0.03 \, \text{кг} \cdot v_2\]

Теперь обратимся к второму закону Ньютона для движения с замедлением под действием силы трения. Мы знаем, что коэффициент трения между шайбами и льдом составляет \(0.2\). Сама сила трения равна произведению коэффициента трения на нормальную силу, которая в данном случае будет равна гравитационной силе, работающей на шайбу.

Нормальная сила, действующая на шайбу, равна ее весу. Так как трение работает в противоположную сторону движению, мы можем записать:

\[f_{\text{тр}} = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g\]

где \(f_{\text{тр}}\) - сила трения, \(\mu\) - коэффициент трения, \(m\) - масса шайбы, \(g\) - ускорение свободного падения (около \(9.8 \, \text{м/с}^2\)).

Сила трения равна массе, умноженной на ускорение, вызванное трением:

\[f_{\text{тр}} = m \cdot a\]

Поэтому

\[m \cdot a = \mu \cdot m \cdot g\]

Переходим к уравнению для скорости:

\[a = \mu \cdot g\]

Мы знаем, что шайба движется с постоянным замедлением, поэтому можем записать уравнение движения:

\[v^2 = u^2 - 2 \cdot a \cdot s\]

где \(s\) - путь, \(v\) - конечная скорость после замедления, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - замедление.

Теперь можно записать уравнения движения для каждой шайбы.

Для первой шайбы:

\[v_1^2 = u_1^2 - 2 \cdot a \cdot s\]

Мы знаем, что начальная скорость \(u_1 = 2 \, \text{м/с}\), поэтому:

\[v_1^2 = 2^2 - 2 \cdot a \cdot s\]

\[v_1^2 = 4 - 2 \cdot a \cdot s\]

Аналогично для второй шайбы:

\[v_2^2 = u_2^2 - 2 \cdot a \cdot s\]

Поскольку начальная скорость второй шайбы \(u_2 = 0 \, \text{м/с}\), то:

\[v_2^2 = 0 - 2 \cdot a \cdot s\]

\[v_2^2 = -2 \cdot a \cdot s\]

Теперь можно записать уравнение сохранения энергии:

Кинетическая энергия до столкновения равна сумме кинетической энергии после столкновения:

\[\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot u_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot u_2^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v_2^2\]

Так как \(u_2 = 0\) и \(v_1 = v_2\), а также подставив известные значения, получим:

\[\frac{1}{2} \cdot 0.01 \, \text{кг} \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 0.03 \, \text{кг} \cdot 0^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot 0.03 \, \text{кг} \cdot v_2^2\]

\[0.02 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + 0.002 \, \text{кг} \cdot v_2^2\]

Теперь можем объединить уравнение сохранения энергии с уравнениями движения для каждой шайбы:

\[v_1^2 = 4 - 2 \cdot a \cdot s\]
\[v_2^2 = -2 \cdot a \cdot s\]
\[0.02 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + 0.002 \, \text{кг} \cdot v_2^2\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений с тремя неизвестными (\(v_1\), \(v_2\) и \(s\)). Решим ее с использованием методов алгебры.

Для начала, заменим \(v_2^2\) в третьем уравнении согласно второму уравнению:

\[0.02 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + 0.002 \, \text{кг} \cdot (-2 \cdot a \cdot s)\]

\[0.02 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 - 0.004 \, \text{кг} \cdot a \cdot s\]

Теперь объединим первое и третье уравнения, чтобы избавиться от \(v_2\):

\[4 - 2 \cdot a \cdot s = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 - 0.004 \, \text{кг} \cdot a \cdot s\]

\[4 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + 0.004 \, \text{кг} \cdot a \cdot s + 2 \cdot a \cdot s\]

\[4 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + (0.004 \, \text{кг} \cdot a + 0.002 \, \text{кг} \cdot a) \cdot s\]

\[4 = 0.005 \, \text{кг} \cdot v_1^2 + 0.006 \, \text{кг} \cdot a \cdot s\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(v_1\) и \(s\)). Решим эту систему уравнений.

Выразим \(v_1^2\) из первого уравнения:

\[v_1^2 = 4 - 2 \cdot a \cdot s\]

Подставим это равенство во второе уравнение:

\[4 = 0.005 \, \text{кг} \cdot (4 - 2 \cdot a \cdot s) + 0.006 \, \text{кг} \cdot a \cdot s\]

\[4 = 0.02 \, \text{кг} - 0.01 \, \text{кг} \cdot a \cdot s + 0.006 \, \text{кг} \cdot a \cdot s\]

\[0.01 \, \text{кг} \cdot a \cdot s = 0.02 \, \text{кг}\]

\[a \cdot s = \frac{0.02 \, \text{кг}}{0.01 \, \text{кг}}\]

\[a \cdot s = 2\]

Теперь мы можем решить уравнение для \(v_1\):

\[v_1^2 = 4 - 2 \cdot 2\]

\[v_1^2 = 4 - 4\]

\[v_1^2 = 0\]

\[v_1 = 0\]

Таким образом, после столкновения первая шайба останавливается полностью.

Из уравнения \(a \cdot s = 2\) мы можем найти значение \(s\):

\[s = \frac{2}{a}\]

\[s = \frac{2}{0.2}\]

\[s = 10\]

Итак, расстояние \(S\), на которое шайбы разлетятся после столкновения и полностью остановятся, равно 10 метров.