Каково дифференциальное уравнение, заданное как Yy /x+e^y=0, при условии y(1)=0?

Янгол

62

Для начала, нам нужно найти дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданному условию \(y(1) = 0\).

Данное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка и содержит производные второго порядка. Чтобы решить его, мы можем применить метод их основным дифференциальных уравнений.

Давайте решим дифференциальное уравнение шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем первую производную y"(x). Для этого мы возьмем производную обоих частей уравнения по переменной x. Получим:

\[Y\cfrac{{d^2y}}{{dx^2}} + \cfrac{{dy}}{{dx}}e^y = 0\]

Теперь разделим уравнение на Y:

\[\cfrac{{d^2y}}{{dx^2}} + \cfrac{{1}}{{Y}}\cfrac{{dy}}{{dx}}e^y = 0\]

Шаг 2: Обозначим \(y"\) как \(p\). Таким образом, уравнение примет вид:

\[\cfrac{{dp}}{{dx}} + \cfrac{{1}}{{Y}}pe^y = 0\]

Шаг 3: Давайте продифференцируем это уравнение по переменной x. Получим:

\[\cfrac{{d^2p}}{{dx^2}} + \cfrac{{1}}{{Y}}\cfrac{{dp}}{{dx}}e^y = 0\]

Шаг 4: Теперь заменим \(\cfrac{{dy}}{{dx}}\) на p в нашем изначальном уравнении:

\[\cfrac{{d^2y}}{{dx^2}} + \cfrac{{1}}{{Y}}\cdot pe^y = 0\]

Шаг 5: Вспомним, что по условию y(1) = 0. Это означает, что при x = 1, значение y равно 0. Мы можем использовать это условие, чтобы найти константу интегрирования.

Подставим условие в нашу общую формулу: при x = 1, y = 0. Тогда получаем:

\[0 + e^0 = 0 \Rightarrow 1 = 0\]

Это невозможное равенство, которое означает либо ошибка в задаче, либо некорректное условие. Пожалуйста, убедитесь, что условие задачи задано правильно или уточните его, чтобы я мог продолжить решение задачи.