Каково доказательство параллельности прямой x+1/2=y+1/-1=z-3/3 и плоскости 2x+y-1=0? И прямая x+1/2=y+1/-1=z+3/3

Skvoz_Tuman

53

Доказательство параллельности прямой и плоскости будет состоять из нескольких шагов:

Шаг 1: Переведем уравнение прямой x + 1/2 = y + 1/-1 = z - 3/3 в параметрическую форму.
Для этого введем параметр t и представим координаты точек прямой следующим образом:
x = t - 1/2,
y = -t - 1,
z = 3t + 3.

Шаг 2: Подставим параметрическое уравнение прямой в уравнение плоскости, чтобы проверить, лежит ли прямая в этой плоскости.
Уравнение плоскости 2x + y - 1 = 0 можно представить в общем виде как 2x + y - z - 1 = 0.

Подставим выражения для x, y и z из параметрического уравнения прямой:
2(t - 1/2) + (-t - 1) - (3t + 3) - 1 = 0.

Выполняя алгебраические действия, получим:
2t - 1 + (-t - 1) - 3t - 3 - 1 = 0,
-2t - 6 = 0.

Шаг 3: Решим полученное уравнение -2t - 6 = 0 относительно параметра t.
Выполнив алгебраические преобразования, получим:
-2t = 6,
t = -3.

Подставим значение t = -3 обратно в параметрическое уравнение прямой, чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой:
x = (-3) - 1/2 = -7/2,
y = -(-3) - 1 = 2,
z = 3(-3) + 3 = -6.

Шаг 4: Проверим, лежит ли найденная точка на плоскости 2x + y - z - 1 = 0.
Подставим координаты точки в уравнение плоскости:
2(-7/2) + 2 - (-6) - 1 = 0,
-7 + 2 + 6 - 1 = 0,
0 = 0.

Результат показывает, что левая и правая части уравнения равны, что означает, что точка (-7/2, 2, -6) лежит на плоскости.

Итак, мы получили следующие результаты:
1. Уравнение прямой x + 1/2 = y + 1/-1 = z - 3/3 задано параметрически как x = t - 1/2, y = -t - 1, z = 3t + 3.
2. Решив уравнение -2t - 6 = 0, мы получили значение параметра t = -3.
3. Подставив найденное значение параметра t обратно в параметрическое уравнение прямой, мы определили координаты точки, принадлежащей прямой: (-7/2, 2, -6).
4. Произведя подстановку координат точки в уравнение плоскости 2x + y - z - 1 = 0, мы увидели, что эта точка находится на плоскости.

Таким образом, прямая x + 1/2 = y + 1/-1 = z - 3/3 параллельна плоскости 2x + y - 1 = 0.