Каково доказательство того, что две последние цифры значения выражения 415^3 + 85^3 являются нулями? Доказательство
Каково доказательство того, что две последние цифры значения выражения 415^3 + 85^3 являются нулями? Доказательство представляется следующим образом: 415^3 + 85^3 = (...+...)(415^2 - ... + 85^2) = ... × (415^2 - 415 × 85 + 85^2). При умножении на ... в конце числа получится ... нулей.
Lisichka 34
Давайте рассмотрим задачу. Нам нужно доказать, что две последние цифры значения выражения \(415^3 + 85^3\) являются нулями. Для этого мы воспользуемся фактом о делении чисел на 10.Для начала, посчитаем значения \(415^3\) и \(85^3\):
\[415^3 = 415 \cdot 415 \cdot 415,\]
\[85^3 = 85 \cdot 85 \cdot 85.\]
Теперь давайте разберемся, каким образом можно записать сумму этих двух выражений:
\[415^3 + 85^3 = (415 \cdot 415 \cdot 415) + (85 \cdot 85 \cdot 85).\]
Сложение двух чисел не является подходящим способом для доказательства нашего утверждения. Вместо этого, мы воспользуемся фактом о разности кубов (a^3 - b^3):
\[415^3 + 85^3 = (415 + 85) \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2).\]
Теперь мы можем раскрыть скобки:
\[415^3 + 85^3 = 500 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2).\]
Обратите внимание, что число 500 можно рассматривать как произведение числа 5 и 100. Поскольку числа 415 и 85 являются четными, мы можем упростить выражение:
\[500 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2) = 5 \cdot (100 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2)).\]
Теперь мы можем заметить, что число 100 можно рассматривать как произведение числа 10 и 10, то есть:
\[5 \cdot (100 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2)) = 10 \cdot (50 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2)).\]
Теперь давайте тщательно рассмотрим выражение внутри скобок:
\[50 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2).\]
Внутри этого выражения мы можем заметить, что каждое слагаемое имеет множитель 50. После умножения на 50 получим число, оканчивающееся на 00. Таким образом, мы получаем:
\[50 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2) = 5000 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2).\]
И теперь, выводим наше исходное выражение:
\[415^3 + 85^3 = 5000 \cdot (415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2).\]
Таким образом, мы видим, что при умножении числа 5000 на выражение \(415^2 - 415 \cdot 85 + 85^2\) мы получим число, оканчивающееся на два нуля. Следовательно, две последние цифры значения выражения \(415^3 + 85^3\) являются нулями.