Каково доказательство того, что угол АСD равен углу BCD, при условии, что АС равна ВС, а CD является медианой?

Snegir

66

Для доказательства равенства угла \( \angle ASD \) и угла \( \angle BCD \) нам понадобится использовать некоторые свойства треугольника.

В данной задаче у нас имеется треугольник \( \triangle ABC \), в котором отрезок \( AC \) равен отрезку \( BC \), и \( CD \) является медианой. Чтобы показать, что угол \( \angle ASD \) равен углу \( \angle BCD \), мы можем использовать следующие шаги:

Шаг 1: Из условия задачи, мы знаем, что отрезок \( AC \) равен отрезку \( BC \). Это означает, что стороны \( AC \) и \( BC \) треугольника \( \triangle ABC \) равны между собой.

Шаг 2: Также, по определению, медиана треугольника делит противоположную сторону пополам. В данном случае, медиана \( CD \) делит сторону \( AB \) пополам.

Шаг 3: Мы можем заметить, что \( \angle ADC \) и \( \angle BDC \) являются вершинными углами треугольника \( \triangle ADC \) и \( \triangle BDC \) соответственно, и эти треугольники имеют равные стороны \( AC \) и \( BC \). Это означает, что эти треугольники равнобедренные.

Шаг 4: В равнобедренном треугольнике углы, образованные равными сторонами, также равны. Таким образом, мы можем сделать вывод, что \( \angle ACD = \angle BCD \) и \( \angle ADC = \angle BDC \).

Шаг 5: Рассмотрим теперь треугольник \( \triangle ASD \). В нём угол \( \angle ACD \) и угол \( \angle ASD \) в альтернативных соседних вершинах, а угол \( \angle BCD \) и угол \( \angle BDC \) также в альтернативных соседних вершинах, и мы уже знаем, что они равны между собой. Таким образом, мы можем заключить, что угол \( \angle ASD \) также равен углу \( \angle BCD \), что требовалось доказать.

Итак, мы сделали шаг за шагом доказательство равенства углов \( \angle ASD \) и \( \angle BCD \) в заданном треугольнике \( \triangle ABC \) с условиями, что отрезок \( AC \) равен отрезку \( BC \), а \( CD \) является медианой.