Каково уравнение сферы с центром O(1;0;−2) и проходящей через точку B(−1;−2;−3)?

Шустрик

57

Чтобы найти уравнение сферы, нам понадобится информация о центре сферы и одной точке, через которую она проходит. В данном случае, у нас есть центр сферы O(1;0;−2) и точка B(−1;−2;−3).

Уравнение сферы можно записать в следующем виде:

\((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\)

где (h, k, l) - координаты центра сферы, а r - радиус сферы.

Нам известны координаты центра сферы O(1;0;−2), поэтому мы можем заменить (h, k, l) на (1, 0, -2) в уравнении:

\((x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z + 2)^2 = r^2\)

Также, поскольку сфера проходит через точку B(−1;−2;−3), мы можем заменить \(x\), \(y\) и \(z\) на соответствующие значения этой точки:

\((-1 - 1)^2 + (-2 - 0)^2 + (-3 + 2)^2 = r^2\)

Вычисляем значения в скобках:

\((-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = r^2\)

\((4 + 4 + 1) = r^2\)

\((9) = r^2\)

Теперь, чтобы получить окончательное уравнение сферы, мы можем подставить \(r^2 = 9\) в начальное уравнение:

\((x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z + 2)^2 = 9\)

Получаем окончательное уравнение сферы:

\((x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 = 9\)