Каково доказательство того, что угол DAVD равен углу ADCA, если AM = DN и BM = CN, и BM перпендикулярен AD

Радио

32

Для начала введем обозначения, чтобы было проще описывать доказательство. Пусть точки A, B, C и D являются вершинами углов, а точки M и N - середины сторон AD и AC соответственно.

На рисунке мы видим, что отрезки AM и DN имеют одинаковую длину, так как AM и DN - это половины одной и той же стороны AD. Аналогично, отрезки BM и CN имеют одинаковую длину, так как BM и CN - это половины одной и той же стороны AC.

Также на рисунке видно, что отрезки BM и CN перпендикулярны сторонам AD и AC соответственно.

Задача состоит в доказательстве, что угол DAVD равен углу ADCA.

Для доказательства используем косинусную теорему.

В прямоугольном треугольнике ADB адъективный угол ABD имеет катеты AM и BM, противолежащие ему. Тогда можно записать:

\[\cos(ABD) = \frac{AM}{BM}\]

Также в прямоугольном треугольнике ADC адъективный угол ACD имеет катеты DN и CN, противолежащие ему. Тогда можно записать:

\[\cos(ACD) = \frac{DN}{CN}\]

Из условия задачи у нас есть, что AM = DN и BM = CN, поэтому можно записать:

\[\cos(ABD) = \frac{AM}{BM} = \frac{DN}{CN} = \cos(ACD)\]

Так как функция косинуса имеет симметричность, мы можем заключить, что угол ABD равен углу ACD.

Вернемся к изначальным обозначениям и переименуем ABD в DAVD и ACD в ADCA. Тогда получается:

\(\angle DAVD = \angle ADCA\)

Таким образом, мы доказали, что угол DAVD равен углу ADCA.