Каково экстремальное значение скорости материальной точки, учитывая функцию зависимости пройденного пути от времени

Smeshannaya_Salat

55

Для нахождения экстремальных значений скорости материальной точки, учитывая функцию зависимости пройденного пути от времени, мы должны найти производную функции пути \(s\) по времени \(t\) и приравнять ее к нулю.

1. Найдем производную функции пути \(s\) по времени \(t\):
\[v = \frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(0.25t^4 - 9t^2)\]

2. Найдем производную:
\[v = 1 \cdot 0.25 \cdot 4t^3 - 1 \cdot 9 \cdot 2t\]
\[v = t^3 - 18t\]

Теперь у нас есть выражение для скорости \(v\) в зависимости от времени \(t\).

3. Чтобы найти экстремальные значения скорости, приравняем выражение для \(v\) к нулю и решим полученное уравнение:
\[t^3 - 18t = 0\]

Это уравнение можно решить путем факторизации:
\[t(t^2-18) = 0\]

Таким образом, получаем два значения времени: \(t = 0\) и \(t = \sqrt{18}\), что примерно равно 4.24.

4. Теперь построим график зависимости скорости точки от времени:
Для этого мы берем найденное выражение скорости \(v = t^3 - 18t\) и строим график, где по оси абсцисс \(t\) будет время, а по оси ординат \(v\) будет скорость.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
t & v \\
\hline
-5 & -95 \\
-4 & -64 \\
-3 & -45 \\
-2 & -32 \\
-1 & -19 \\
0 & 0 \\
1 & -17 \\
2 & -8 \\
3 & 9 \\
4 & 32 \\
5 & 55 \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, график будет выглядеть примерно следующим образом:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={Время (t)},
ylabel={Скорость (v)},
xmin=-5, xmax=5,
ymin=-100, ymax=100,
xtick={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
ytick={-100,-80,-60,-40,-20,0,20,40,60,80,100},
legend pos=north west,
grid=both,
grid style={line width=0.2pt, draw=gray!50},
major grid style={line width=0.4pt,draw=gray!80},
axis lines=middle,
]
\addplot[blue, domain=-5:5, samples=300] {x^3 - 18*x};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Вы можете заметить, что скорость точки имеет экстремальное значение, когда время равно 0 (точка перегиба графика) и приближенно равно 4.24. Значения скорости соответствуют значениям на графике.