Каково изменение амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний, если уменьшается на 1/10 от своего начального

  • 60
Каково изменение амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний, если уменьшается на 1/10 от своего начального значения? При периоде колебаний t=0.4 c, что равно логарифмическому декременту и коэффициенту затухания? Также, пожалуйста, напишите уравнение колебаний.
Skolzkiy_Pingvin
47
Давайте рассмотрим данный вопрос пошагово.

Шаг 1: Вычисление изменения амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний.

Мы знаем, что амплитуда затухающих колебаний после n колебаний связана с начальной амплитудой A0 следующим образом:

An=A0ecnT

где An - амплитуда после n колебаний, A0 - начальная амплитуда, c - коэффициент затухания, n - количество колебаний, T - период колебаний.

Мы знаем, что амплитуда после 10 колебаний (A10) уменьшается на 1/10 от начальной амплитуды (A0). Из этого нам известно следующее соотношение:

A10=110A0

Подставив выражение для An в это соотношение, получим:

110A0=A0ec10T

Шаг 2: Нахождение логарифмического декремента.

Логарифмический декремент (δ) выражается следующей формулой:

δ=ln(AnAn+1)

Подставим наше значение для An и An+1 в формулу:

δ=ln(A0ecnTA0ec(n+1)T)

δ=ln(ecT)

Упростим выражение:

δ=cT

Шаг 3: Нахождение коэффициента затухания.

Коэффициент затухания (c) выражается через логарифмический декремент следующим образом:

c=2πTδ

Подставим наше значение для δ и T в формулу:

c=2πTcT

Упростим выражение:

c=2π

Таким образом, логарифмический декремент равен 2π, а коэффициент затухания равен 2π.

Шаг 4: Нахождение уравнения колебаний.

Уравнение колебаний в данном случае будет выглядеть следующим образом:

x(t)=A0ectsin(ωt+ϕ)

где x(t) - перемещение в момент времени t, A0 - начальная амплитуда, c - коэффициент затухания, ω - циклическая частота, ϕ - начальная фаза.

На основе данных вопроса, мы можем записать уравнение колебаний следующим образом:

x(t)=A0e2πtsin(2πTt)

Итак, данное уравнение описывает затухающие колебания с заданными параметрами.