Каково изменение амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний, если уменьшается на 1/10 от своего начального

Skolzkiy_Pingvin

47

Давайте рассмотрим данный вопрос пошагово.

Шаг 1: Вычисление изменения амплитуды затухающих колебаний после 10 колебаний.

Мы знаем, что амплитуда затухающих колебаний после n колебаний связана с начальной амплитудой \(A_0\) следующим образом:

\[A_n = A_0 \cdot e^{-c \cdot n \cdot T}\]

где \(A_n\) - амплитуда после n колебаний, \(A_0\) - начальная амплитуда, \(c\) - коэффициент затухания, \(n\) - количество колебаний, \(T\) - период колебаний.

Мы знаем, что амплитуда после 10 колебаний (\(A_{10}\)) уменьшается на 1/10 от начальной амплитуды (\(A_0\)). Из этого нам известно следующее соотношение:

\[A_{10} = \frac{1}{10} \cdot A_0\]

Подставив выражение для \(A_n\) в это соотношение, получим:

\[\frac{1}{10} \cdot A_0 = A_0 \cdot e^{-c \cdot 10 \cdot T}\]

Шаг 2: Нахождение логарифмического декремента.

Логарифмический декремент (\(\delta\)) выражается следующей формулой:

\[\delta = \ln\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right)\]

Подставим наше значение для \(A_n\) и \(A_{n+1}\) в формулу:

\[\delta = \ln\left(\frac{A_0 \cdot e^{-c \cdot n \cdot T}}{A_0 \cdot e^{-c \cdot (n+1) \cdot T}}\right)\]

\[\delta = \ln(e^{c \cdot T})\]

Упростим выражение:

\[\delta = c \cdot T\]

Шаг 3: Нахождение коэффициента затухания.

Коэффициент затухания (\(c\)) выражается через логарифмический декремент следующим образом:

\[c = \frac{2\pi}{T} \cdot \delta\]

Подставим наше значение для \(\delta\) и \(T\) в формулу:

\[c = \frac{2\pi}{T} \cdot c \cdot T\]

Упростим выражение:

\[c = 2\pi\]

Таким образом, логарифмический декремент равен \(2\pi\), а коэффициент затухания равен \(2\pi\).

Шаг 4: Нахождение уравнения колебаний.

Уравнение колебаний в данном случае будет выглядеть следующим образом:

\[x(t) = A_0 \cdot e^{-c \cdot t}\sin(\omega t + \phi)\]

где \(x(t)\) - перемещение в момент времени \(t\), \(A_0\) - начальная амплитуда, \(c\) - коэффициент затухания, \(\omega\) - циклическая частота, \(\phi\) - начальная фаза.

На основе данных вопроса, мы можем записать уравнение колебаний следующим образом:

\[x(t) = A_0 \cdot e^{-2\pi \cdot t}\sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t\right)\]

Итак, данное уравнение описывает затухающие колебания с заданными параметрами.