Каково количество интервалов, на которых угол наклона касательной к графику функции y=f(x) отрицателен?

Николаевич

56

Чтобы найти количество интервалов, на которых угол наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) отрицателен, нам нужно проанализировать поведение функции \(f(x)\) и определить, где у функции происходит изменение знака ее производной.

Для начала, давайте вспомним, что производная функции определяет ее скорость изменения. Если производная функции положительна, значит, функция возрастает; если производная функции отрицательна, функция убывает. Отрицательный угол наклона касательной означает, что функция убывает на данном интервале.

Поэтому, чтобы определить, на скольких интервалах угол наклона касательной отрицателен, мы должны найти интервалы, на которых производная функции \(f"(x)\) отрицательна.

К счастью, данная задача не требует от нас решения уравнения, чтобы найти производную функции. Мы просто ищем места, где производная функции принимает отрицательные значения.

Итак, вот алгоритм для нахождения количества интервалов с отрицательными углами наклона:

1. Найдите производную функции \(f"(x)\).
2. Решите уравнение \(f"(x) < 0\) для поиска значений \(x\), при которых производная функции отрицательна.
3. Определите, какие интервалы на числовой прямой содержат найденные значения \(x\).
4. Посчитайте количество таких интервалов и выведите ответ.

Например, если у нас есть функция \(y = x^2 - 2x + 1\), то чтобы найти количество интервалов с отрицательными углами наклона, мы должны:

1. Найти производную функции \(f"(x)\). В данном случае, \(f"(x) = 2x - 2\).
2. Решить уравнение \(2x - 2 < 0\) для нахождения значений \(x\), при которых производная функции отрицательна. В этом случае, решение уравнения даёт нам \(x < 1\).
3. Определить интервалы на числовой прямой, в которых \(x\) принадлежит \(x < 1\). В данном случае, получается интервал \((-\infty, 1)\).
4. Вывести ответ: количество интервалов с отрицательными углами наклона равно 1.

Таким образом, в данном конкретном примере, количество интервалов с отрицательными углами наклона функции \(y = x^2 - 2x + 1\) равно 1.