Каково количество корней уравнения |x+3|=a-x^2, в зависимости от значения

Sonechka

28

Для начала, давайте разберемся с тем, что представляет собой данное уравнение и как его решить. У нас есть следующее уравнение: \(\left|x+3\right|=a-x^2\), где \(a\) - некоторое заданное значение.

Чтобы решить это уравнение, нам необходимо рассмотреть два случая - когда выражение в модуле положительно и когда оно отрицательно.

Первый случай: \((x+3) > 0\). Из этого следует, что \(x > -3\). В таком случае, модуль можно опустить и уравнение будет выглядеть так: \(x+3 = a-x^2\). Преобразуем уравнение, чтобы оно привелось к квадратному виду. Получим \(x^2 + x + (3-a) = 0\). Теперь мы можем воспользоваться квадратным уравнением и решить его. Дискриминант для данного квадратного уравнения равен \(D_1 = 1-4(3-a)\). Если \(D_1 > 0\), то уравнение будет иметь два корня. Если \(D_1 = 0\), то уравнение имеет один корень. Если же \(D_1 < 0\), то корней не существует.

Второй случай: \((x+3) < 0\). Из этого следует, что \(x < -3\). В таком случае, модуль будет иметь вид: \(-(x+3) = a-x^2\). Преобразуем уравнение, чтобы оно привелось к квадратному виду. Получим \(x^2 + x - (a+3) = 0\). Дискриминант для данного квадратного уравнения равен \(D_2 = 1+4(a+3)\). Мы также должны проверить знак дискриминанта. Если \(D_2 > 0\), то уравнение будет иметь два корня. Если \(D_2 = 0\), то уравнение имеет один корень. Если же \(D_2 < 0\), то корней нет.

Теперь, давайте рассмотрим разные значения \(a\) и определим количество корней уравнения:

1) Когда \(a > -3\): в этом случае \(x > -3\). Проверим дискриминант \(D_1\):
a) Если \(D_1 > 0\), то уравнение имеет два корня.
б) Если \(D_1 = 0\), то уравнение имеет один корень.
в) Если \(D_1 < 0\), то корней нет.

2) Когда \(-3 < a < -3-4/3\) (то есть, \(-3 < a < -\frac{19}{3}\)): в этом случае \(x < -3\). Проверим дискриминант \(D_2\):
a) Если \(D_2 > 0\), то уравнение имеет два корня.
б) Если \(D_2 = 0\), то уравнение имеет один корень.
в) Если \(D_2 < 0\), то корней нет.

3) Когда \(a = -3\): в этом случае \(x > -3\) и \(x < -3\). Проверим оба дискриминанта \(D_1\) и \(D_2\). Если они больше нуля, то уравнение будет иметь два корня. В противном случае, уравнение не имеет корней.

4) Когда \(a < -3\): в этом случае \(x > -3\) и \(x < -3\). Оба дискриминанта \(D_1\) и \(D_2\) будут отрицательными, поэтому у уравнения не будет действительных корней.

Таким образом, количество корней уравнения |x+3|=a-x^2 зависит от заданного значения \(a\). Я показал вам живописную картину того, как количество корней может меняться в зависимости от изменения значения \(a\).