Каково количество решений системы уравнений y = x^-3 и y = 1/8x^2 в графическом виде?

Zvezdnyy_Lis

14

Для начала, давайте посмотрим на графики каждого уравнения по отдельности. Это поможет нам визуально представить, как они выглядят и какие точки лежат на каждой кривой.

Уравнение \(y = x^{-3}\) описывает гиперболу с центром в начале координат (0,0). График этой функции будет симметричным относительно оси x и оси y. В точке (1,1) график функции пересекает ось y. После этой точки, функция стремится к бесконечности при приближении к нулю по оси x, и приближается к нулю при приближении к бесконечности по оси x.

Уравнение \(y = \frac{1}{8}x^2\) описывает параболу, открывающуюся вверх, также с вершиной в начале координат (0,0). График функции будет симметричным относительно оси y и пересечет ось x в точке (0,0). Функция возрастает при положительных значениях x и увеличивает свою кривизну при приближении к нулю.

Теперь давайте посмотрим, где эти графики пересекаются. Если у нас есть точка, которая лежит на обоих графиках, она является решением данной системы уравнений.

Для определения точек пересечения, мы должны решить уравнение \(x^{-3} = \frac{1}{8}x^2\). Для этого можно возвести оба уравнения в третью степень и умножить на 8, чтобы избавиться от знаменателя, и мы получим:

\[8x^5 = x^6.\]

Теперь приведем все слагаемые в правую часть и решим полученное уравнение:

\[x^6 - 8x^5 = 0.\]

Мы можем факторизовать выражение, вынося общий множитель \(x^5\):

\[x^5(x - 8) = 0.\]

Таким образом, мы имеем два возможных решения для этой системы уравнений: \(x = 0\) и \(x = 8\).

Теперь подставим найденные значения x обратно в одно из исходных уравнений, например, в \(y = x^{-3}\), чтобы найти соответствующие значения y:

При \(x = 0\), уравнение становится: \(y = 0^{-3}\), а это означает, что \(y\) является бесконечностью (или несущественным).

При \(x = 8\), уравнение становится: \(y = 8^{-3}\), или \(y = \frac{1}{512}\).

Таким образом, у системы уравнений \(y = x^{-3}\) и \(y = \frac{1}{8}x^2\) есть одно решение: точка (8, \(\frac{1}{512}\)).

Мы также можем увидеть это графически: точка пересечения гиперболы и параболы соответствует решению системы уравнений и находится в координатах (8, \(\frac{1}{512}\)).