Каково количество сторон правильного многоугольника, если радиус его вписанной окружности равен 12 см, а длина стороны

Сладкая_Вишня

54

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся некоторыми свойствами правильных многоугольников и окружностей.

1. Вспомним, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны. Это значит, что радиус вписанной окружности в такой треугольник будет равен половине длины одной из его сторон.

2. Также, в равностороннем треугольнике можно применить формулу для вычисления площади через радиус вписанной окружности:

\[Площадь = \frac{{3 \times (сторона)^2 \times \sqrt{3}}}{4}\]

3. Исходя из этих свойств, можем составить уравнение:

\[12 = \frac{{8\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}{4}\]

Решая это уравнение, найдем значение стороны \(сторона\) равное \(8\sqrt{3}\).

4. Теперь, чтобы найти количество сторон \(n\) правильного многоугольника, воспользуемся следующим соотношением:

\[n = \frac{360°}{\alpha}\]

где \(\alpha\) - центральный угол правильного многоугольника.

В данном случае, мы можем найти \(\alpha\) через теорему о центральном угле: обратимся к равностороннему треугольнику. Угол при центре многоугольника составит:

\[2\alpha = 360°\]

\(\alpha = \frac{360°}{2} = 180°\)

Таким образом, для нашего многоугольника \(n = \frac{360°}{180°} = 2\).

Итак, ответ на первую часть задачи: количество сторон правильного многоугольника равно 2.

5. Чтобы найти длину окружности, описанной около этого многоугольника, воспользуемся формулой:

\[Длина\ окружности = 2\pi \times R\]

где \(R\) - радиус окружности. В нашем случае, радиус описанной окружности равен 12 см:

\[Длина\ окружности = 2\pi \times 12 = 24\pi\]

Итак, ответ на вторую часть задачи: длина окружности, описанной около этого многоугольника, равна \(24\pi\) см.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять и решить данную задачу. Если остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Желаю успехов в учебе!