Каково количество возможных вариантов расположения супружеских пар за столом так, чтобы лица супругов были направлены

Морж_4372

24

Давайте рассмотрим первую задачу, связанную с размещением супружеских пар за столом так, чтобы лица супругов были направлены друг на друга.

Предположим, у нас есть \(n\) пар супругов. Чтобы ответить на вопрос, сколько возможных вариантов расположения супружеских пар за столом, нам нужно определить, сколько способов мы можем разместить пары супругов, направив их лица друг на друга.

Во-первых, выбираем одного из супругов из первой пары для размещения на одном из концов стола. У нас есть \(n\) возможных вариантов выбора первого супруга.

После этого выбранный супруг садится на одном из концов стола. Теперь переходим ко второй паре супругов. Для каждой пары имеется 2 возможных места для сидения, так как мы хотим, чтобы лица супругов были направлены друг на друга.

Для каждой следующей пары супругов также имеется 2 возможных места для сидения. Поэтому всего у нас будет \(2^{n-1}\) возможных вариантов размещения супружеских пар за столом с требуемыми условиями.

Теперь рассмотрим вторую задачу, связанную с количеством различных комбинаций песен, которые DJ может проиграть из своего плейлиста.

Предположим, что у DJ есть плейлист, состоящий из 10 песен, и он хочет выбрать из него комбинации из 5 песен для проигрывания.

Чтобы найти количество различных комбинаций, мы можем использовать понятие сочетания. Формула для сочетания \(C\) из \(n\) элементов, выбираемых \(r\) элементов, записывается следующим образом:

\[C(n, r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\]

где \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), который равен произведению всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).

В данном случае, у нас есть \(n = 10\) песен в плейлисте и мы хотим выбрать \(r = 5\) песен. Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[C(10, 5) = \dfrac{10!}{5!(10-5)!} = \dfrac{10!}{5! \cdot 5!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\]

Таким образом, DJ может проиграть 252 различных комбинации из своего плейлиста, состоящего из 10 песен, если он выбирает по 5 песен для каждой комбинации.

Я надеюсь, что это разъяснило вам задачи и помогло понять решение.