Каково максимальное расстояние между центром Земли и вторым спутником, который движется по эллиптической траектории

Милочка_1961

10

Для начала, давайте объясним третий закон Кеплера. Он гласит, что квадрат периода обращения планеты пропорционален третьей степени большой полуоси ее орбиты. То есть, если период обращения первого спутника, движущегося по окружности радиуса \( r \), обозначим T1, то период обращения второго спутника, движущегося по эллиптической траектории с большой полуосью \( a \), будет равен \( T2 = \eta \cdot T1 \), где \( \eta \) - коэффициент пропорциональности.

Теперь давайте рассмотрим расстояние между центром Земли и спутником. Заметим, что расстояние от центра Земли до фокуса эллипса равно \( c \), а расстояние от центра Земли до ближайшей точки эллиптической траектории (перигелия) равно \( q \).

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от фокуса \( c \) до любой точки на эллипсе до фокуса \( c \) равна \( 2a \), где \( a \) - большая полуось эллипса. Тогда \( q + c = 2a \).

Также из определения эллипса мы знаем, что эксцентриситет эллипса \( e \) связан с полуосью эллипса по формуле \( e = \frac{c}{a} \). Так как эллипс является "сжатым" кругом, то эксцентриситет \( e \) будет меньше 1.

Теперь мы можем выразить \( c \) и \( a \) через \( r \) и \( e \).

Из предыдущих выкладок знаем, что \( c = 2a - q \). Тогда \( e = \frac{c}{a} = \frac{{2a - q}}{a} = 2 - \frac{q}{a} \).

Также из третьего закона Кеплера, период обращения второго спутника \( T2 \) связан с большой полуосью эллипса \( a \). Известно, что \( T2 = \eta \cdot T1 \) и \( T1 = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.

Отсюда можем выразить \( a \) через \( T1 \) и \( \eta \).

\( T2 = \eta \cdot T1 \) и \( T1 = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \)
\( T2 = \eta \cdot 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \)

Теперь, зная \( T2 \) и \( T2 \), можно найти \( a \).

Итак, у нас есть два уравнения:
1) \( q + c = 2a \)
2) \( e = 2 - \frac{q}{a} \)
3) \( T2 = \eta \cdot 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} \)

Давайте решим эту систему уравнений. Начнем с уравнения 2):

\( e = 2 - \frac{q}{a} \)

Решим его относительно \( q \):
\( q = 2a - a \cdot e \)

Используем это значение \( q \) в уравнении 1):
\( 2a - a \cdot e + c = 2a \)
\( c = a \cdot e \)

Теперь можем переписать уравнение 3) в терминах \( a \) и \( \eta \):
\( \eta \cdot 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} = T2 \)
\( \eta \cdot 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M}} = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G \cdot M}} \)
\( \eta \cdot \sqrt{r^3} = \sqrt{a^3} \)

Возводим обе части уравнения в куб:
\( (\eta \cdot \sqrt{r^3})^3 = (\sqrt{a^3})^3 \)
\( \eta^3 \cdot r^3 = a^3 \)

Теперь можем найти \( a \) через \( r \) и \( \eta \):
\( a = r \cdot \sqrt[3]{\eta} \)

Теперь подставляем \( a \) в \( c \):
\( c = a \cdot e = r \cdot \sqrt[3]{\eta} \cdot e \)

Таким образом, расстояние от центра Земли до второго спутника, движущегося по эллиптической траектории, равно \( q + c = 2a \) разности \( q \) и \( c \). Подставим значения \( q \) и \( c \):
\( 2a = (2r - e \cdot r \cdot \sqrt[3]{\eta}) + (r \cdot \sqrt[3]{\eta} \cdot e) = 2r \).

Итак, максимальное расстояние между центром Земли и вторым спутником будет равно \( 2r \), где \( r \) - радиус окружности, по которой движется первый спутник.