Каково максимальное значение скорости точки в уравнении колебания точки x=2sin5t?

Misticheskiy_Drakon

38

Чтобы найти максимальное значение скорости точки в уравнении колебания \(x = 2\sin(5t)\), мы сначала должны выразить скорость точки \(v\) как производную \(x\) по времени \(t\).

Для этого мы возьмем производную от \(x\) по \(t\):

\[
v = \frac{{dx}}{{dt}}
\]

Теперь нам нужно продифференцировать исходное уравнение. Возьмем производную от \(x\):

\[
\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(2\sin(5t))
\]

Чтобы продифференцировать функцию \(\sin(5t)\), мы должны использовать правило дифференцирования составной функции, которое звучит так: "Производная функции сложной переменной равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции".

Применяя это правило к нашей функции \(\sin(5t)\), мы получаем:

\[
\frac{{d}}{{dt}}(2\sin(5t)) = 2\cdot\frac{{d}}{{dt}}(\sin(5t))
\]

Производная функции \(\sin(5t)\) равна произведению производной функции \(\sin(x)\) по переменной \(x\) на производную внутренней функции \(5t\) по переменной \(t\):

\[
\frac{{d}}{{dt}}(\sin(5t)) = \cos(5t)\cdot\frac{{d}}{{dt}}(5t)
\]

Производная функции \(5t\) по переменной \(t\) равна 5:

\[
\frac{{d}}{{dt}}(5t) = 5
\]

Теперь мы можем записать полное выражение для скорости точки \(v\):

\[
v = 2\cdot\cos(5t)\cdot5
\]

Чтобы найти максимальное значение скорости точки, нам нужно знать значения \(t\), при которых \(\cos(5t)\) достигает своего максимального значения.

Функция \(\cos(x)\) достигает своего максимального значения 1 при \(x = 0 + 2\pi k\), где \(k\) - любое целое число.

Подставляя это значение в нашу формулу для скорости точки, получим:

\[
v = 2\cdot\cos(5\cdot0)\cdot5 = 2\cdot1\cdot5 = 10
\]

Таким образом, максимальное значение скорости точки в уравнении колебания \(x = 2\sin(5t)\) равно 10.