Каково меньшее основание трапеции, если средняя линия равна 16 и разность двух отрезков, на которые она делится одной

Skvorec

34

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать свойства трапеции и решить систему уравнений.

Предположим, что основания трапеции имеют длины \(a\) и \(b\) (где \(a\) является основанием с меньшей длиной) и что средняя линия равна 16.

Согласно свойству трапеции, длина средней линии равна среднему арифметическому длин оснований:

\[средняя \, линия = \frac{{a + b}}{2}\]

Поэтому мы можем записать уравнение:

\[\frac{{a + b}}{2} = 16\]

Также известно, что разность двух отрезков, на которые средняя линия делится одной из диагоналей, равна 4. Это значит, что

\[|a - b| = 4\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
\frac{{a + b}}{2} &= 16 \\
|a - b| &= 4
\end{align*}
\]

Давайте разберемся с этой системой уравнений.

Первое уравнение:

\[\frac{a + b}{2} = 16\]

Умножим оба выражения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[a + b = 32\]

Второе уравнение:

\[|a - b| = 4\]

Поскольку модуль значения может быть равным положительному или отрицательному значению, у нас есть два возможных случая:

1) Если \(a - b = 4\), то мы можем записать уравнение в виде:

\[a = 4 + b\]

Подставим это значение для \(a\) в первое уравнение:

\[4 + b + b = 32\]

\[2b = 28\]

\[b = 14\]

Тогда для меньшего основания \(a\) мы можем использовать уравнение:

\[a = 4 + b = 4 + 14 = 18\]

2) Если \(a - b = -4\), то у нас есть следующее уравнение:

\[a = -4 + b\]

Подставим это значение для \(a\) в первое уравнение:

\[-4 + b + b = 32\]

\[2b = 36\]

\[b = 18\]

Тогда для меньшего основания \(a\) мы можем использовать уравнение:

\[a = -4 + b = -4 + 18 = 14\]

Итак, у нас есть два возможных значения для меньшего основания трапеции: 14 и 18.

Исходя из вариантов ответов, мы видим, что меньшее основание равно 14. Поэтому правильный ответ - вариант 2) 6.