Каково множество значений x, для которых f(x) = g(x)? Где f(x) = cos2x и g(x) = 5-5sinx

Andreevna

50

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1) Нам даны две функции f(x) = cos(2x) и g(x) = 5 - 5sin(x), и нам нужно найти множество значений x, при которых f(x) равно g(x).

2) Для начала, заметим, что cos(2x) - это косинус двойного угла, а sin(x) - синус угла. Поэтому, чтобы решить эту задачу, мы можем использовать тригонометрические тождества для связи между косинусами и синусами углов.

3) Давайте преобразуем функцию f(x) = cos(2x). Используя формулу двойного угла для косинуса, мы получаем f(x) = cos^2(x) - sin^2(x).

4) Теперь заменим f(x) в задаче на полученное выражение: cos^2(x) - sin^2(x) = 5 - 5sin(x).

5) Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только косинусы и синусы. Мы можем использовать другие тригонометрические тождества, чтобы свести уравнение к одной функции.

6) Воспользуемся тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим это в наше уравнение:

(1 - sin^2(x)) - sin^2(x) = 5 - 5sin(x).

7) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 - 2sin^2(x) = 5 - 5sin(x).

8) Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения, чтобы получить квадратное уравнение:

2sin^2(x) - 5sin(x) + 4 = 0.

9) Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Для этого можно использовать факторизацию, квадратное уравнение или квадратное уравнение.

10) Чтобы решить это уравнение, давайте применим метод факторизации. Мы ищем два числа, которые умножаются друг на друга и дают произведение 4*2=8, а также дают сумму -5. Эти числа -1 и -4.

11) Разложим уравнение на множители: (2sin(x) - 1)(sin(x) - 4) = 0.

12) Теперь мы можем решить два уравнения: 2sin(x) - 1 = 0 и sin(x) - 4 = 0.

13) Решим первое уравнение: 2sin(x) - 1 = 0. Добавив 1 к обеим сторонам и разделив на 2, получаем sin(x) = 1/2.

14) Решим второе уравнение: sin(x) - 4 = 0. Добавив 4 к обеим сторонам, получаем sin(x) = 4.

15) Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить, чтобы найти значения x.

16) Решим первое уравнение sin(x) = 1/2. Для этого мы можем использовать таблицу значений синуса или обратную функцию синуса (arcsin). Находим угол, при котором sin(x) = 1/2. Оказывается, что x = π/6 и x = 5π/6.

17) Решим второе уравнение sin(x) = 4. Заметим, что значение синуса всегда находится в диапазоне [-1, 1]. Значит, для этого уравнения нет решений.

18) Итак, множество значений x, для которых f(x) = g(x), равно {π/6, 5π/6}.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение данной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте их.