Каково наиболее вероятное количество отрицательных и положительных ошибок, а также их соответствующая вероятность

Ledyanoy_Ogon_3947

13

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и вероятности. Дано, что вероятность получить положительную ошибку при каждом измерении составляет 2/3, а отрицательную ошибку - 1/3.

В данной задаче требуется определить наиболее вероятное количество отрицательных и положительных ошибок при проведении четырех измерений. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение.

Биномиальное распределение используется, когда мы имеем дело с независимыми испытаниями, которые могут дать два взаимоисключающих результата (в данном случае положительная ошибка и отрицательная ошибка), и мы хотим узнать вероятность определенного числа успехов (положительных ошибок) или неудач (отрицательных ошибок).

Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\],

где P(X = k) - вероятность получить k положительных ошибок, C_n^k - число сочетаний из n по k (или биномиальный коэффициент), p - вероятность положительной ошибки, 1-p - вероятность отрицательной ошибки, n - общее количество измерений.

Для нашего случая, где n = 4, p = 2/3 и 1-p = 1/3, мы можем посчитать вероятности для различных значений k от 0 до 4.

\[P(X = 0) = C_4^0 \cdot (2/3)^0 \cdot (1/3)^4\]

\[P(X = 1) = C_4^1 \cdot (2/3)^1 \cdot (1/3)^3\]

\[P(X = 2) = C_4^2 \cdot (2/3)^2 \cdot (1/3)^2\]

\[P(X = 3) = C_4^3 \cdot (2/3)^3 \cdot (1/3)^1\]

\[P(X = 4) = C_4^4 \cdot (2/3)^4 \cdot (1/3)^0\]

Вычислив эти значения, мы можем определить наиболее вероятное количество отрицательных и положительных ошибок.

Давайте вычислим эти вероятности шаг за шагом.

\[P(X = 0) = C_4^0 \cdot (2/3)^0 \cdot (1/3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (1/81) = 1/81\]

\[P(X = 1) = C_4^1 \cdot (2/3)^1 \cdot (1/3)^3 = 4 \cdot 2/3 \cdot (1/27) = 8/81\]

\[P(X = 2) = C_4^2 \cdot (2/3)^2 \cdot (1/3)^2 = 6 \cdot 4/9 \cdot (1/9) = 24/81\]

\[P(X = 3) = C_4^3 \cdot (2/3)^3 \cdot (1/3)^1 = 4 \cdot 8/27 \cdot (1/3) = 32/81\]

\[P(X = 4) = C_4^4 \cdot (2/3)^4 \cdot (1/3)^0 = 1 \cdot 16/81 \cdot 1= 16/81\]

Теперь, когда у нас есть эти вероятности, мы можем определить наиболее вероятное количество отрицательных и положительных ошибок. Вероятность будет наибольшей для того значения \(k\), при котором соответствующая вероятность \(P(X = k)\) максимальна.

В данном случае, наиболее вероятное количество отрицательных ошибок будет \(k = 0\), так как вероятность \(P(X = 0)\) является наибольшей из всех возможных вероятностей и равна \(1/81\).

Таким образом, наиболее вероятное количество отрицательных ошибок при проведении четырех измерений равно 0, а соответствующая вероятность составляет \(1/81\).